Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x - 1$ e $g (x) = x + 3$ .

$f' (x) = \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} (x - 1) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{(x + 3) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x + 3) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Moltiplica $x + 3$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 3 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{x + 3 - (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x + 3 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (3))}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 3 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 3 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.8.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 3 - (x - 1)}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{x + 3 - x + 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Combina i termini opposti in $x + 3 - x - - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$f' (x) = \frac{0 + 3 + 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.2

Somma $0$ e $3$ .

$f' (x) = \frac{3 + 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{3 + 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.3

Somma $3$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{4}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{4}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{4}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{4}{{(x + 3)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{4}{{(x + 3)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 = 0$

Passaggio 2.3

Poiché $4 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta il denominatore in $\frac{4}{{(x + 3)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poni $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 5

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = \frac{4}{{(x + 3)}^{2}}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = \frac{x - 1}{x + 3}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$ .

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 3)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f' (- 4) = \frac{4}{{((- 4) + 3)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Somma $- 4$ e $3$ .

$f' (- 4) = \frac{4}{{(- 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 4) = \frac{4}{1}$

Passaggio 6.2.2

Dividi $4$ per $1$ .

$f' (- 4) = 4$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $4$ .

$4$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 4$ la derivata è $4$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - 3)$ .

Crescente su $(- \infty, - 3)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 3, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = \frac{4}{{((- 2) + 3)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Somma $- 2$ e $3$ .

$f' (- 2) = \frac{4}{1^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (- 2) = \frac{4}{1}$

Passaggio 7.2.2

Dividi $4$ per $1$ .

$f' (- 2) = 4$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $4$ .

$4$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 2$ la derivata è $4$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 3, \infty)$ .

Crescente su $(- 3, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - 3), (- 3, \infty)$

Passaggio 9