Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 1$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$6 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 8 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 x^{2} - 8 x + 2 + 0$

Passaggio 1.1.5.2

Somma $6 x^{2} - 8 x + 2$ e $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 8 x + 2$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x^{2} - 8 x + 2$ .

$6 x^{2} - 8 x + 2$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 x^{2} - 8 x + 2 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$6 x^{2} - 8 x + 2 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $2$ da $6 x^{2} - 8 x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $2$ da $6 x^{2}$ .

$2 (3 x^{2}) - 8 x + 2 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $2$ da $- 8 x$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $2$ da $2$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 (1) = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $2$ da $2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x)$ .

$2 (3 x^{2} - 4 x) + 2 (1) = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $2$ da $2 (3 x^{2} - 4 x) + 2 (1)$ .

$2 (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ e la cui somma è $b = - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1.1

Scomponi $- 4$ da $- 4 x$ .

$2 (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.1.2

Riscrivi $- 4$ come $- 1$ più $- 3$ .

$2 (3 x^{2} + (- 1 - 3) x + 1) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 (3 x^{2} - 1 x - 3 x + 1) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$2 ((3 x^{2} - 1 x) - 3 x + 1) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$2 (x (3 x - 1) - (3 x - 1)) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x - 1$ .

$2 ((3 x - 1) (x - 1)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (3 x - 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $3 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 1$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 (3 x - 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = \frac{1}{3}, 1$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $\frac{1}{3}, 1$ .

$\frac{1}{3}, 1$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{1}{3})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.\overline{6}$ nell'espressione.

$f' (- 0.\overline{6}) = 6 {(- 0.\overline{6})}^{2} - 8 \cdot - 0.\overline{6} + 2$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 0.\overline{6}$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 0.\overline{6}) = 6 \cdot 0.44444443 - 8 \cdot - 0.\overline{6} + 2$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $6$ per $0.44444443$ .

$f' (- 0.\overline{6}) = 2.66666661 - 8 \cdot - 0.\overline{6} + 2$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 8$ per $- 0.\overline{6}$ .

$f' (- 0.\overline{6}) = 2.66666661 + 5.33333328 + 2$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Somma $2.66666661$ e $5.33333328$ .

$f' (- 0.\overline{6}) = 7.99999989 + 2$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $7.99999989$ e $2$ .

$f' (- 0.\overline{6}) = 9.99999989$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $9.99999989$ .

$9.99999989$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 0.\overline{6}$ la derivata è $9.99999989$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, \frac{1}{3})$ .

Crescente su $(- \infty, \frac{1}{3})$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0.\overline{3}, 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.\overline{6}$ nell'espressione.

$f' (0.\overline{6}) = 6 {(0.\overline{6})}^{2} - 8 \cdot 0.\overline{6} + 2$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $0.\overline{6}$ alla potenza di $2$ .

$f' (0.\overline{6}) = 6 \cdot 0.44444444 - 8 \cdot 0.\overline{6} + 2$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $6$ per $0.44444444$ .

$f' (0.\overline{6}) = 2.66666669 - 8 \cdot 0.\overline{6} + 2$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 8$ per $0.\overline{6}$ .

$f' (0.\overline{6}) = 2.66666669 - 5.\overline{3} + 2$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $5.\overline{3}$ da $2.66666669$ .

$f' (0.\overline{6}) = - 2.\overline{6} + 2$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $- 2.\overline{6}$ e $2$ .

$f' (0.\overline{6}) = - 0.\overline{6}$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 0.\overline{6}$ .

$- 0.\overline{6}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 0.\overline{6}$ la derivata è $- 0.\overline{6}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0.\overline{3}, 1)$ .

Decrescente su $(\frac{1}{3}, 1)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = 6 {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 2$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = 6 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 2$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $6$ per $4$ .

$f' (2) = 24 - 8 \cdot 2 + 2$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 8$ per $2$ .

$f' (2) = 24 - 16 + 2$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $16$ da $24$ .

$f' (2) = 8 + 2$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $8$ e $2$ .

$f' (2) = 10$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $10$ .

$10$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 2$ la derivata è $10$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(1, \infty)$ .

Crescente su $(1, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, \frac{1}{3}), (1, \infty)$

Decrescente su: $(\frac{1}{3}, 1)$

Passaggio 9