Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{3} + 9 x^{2} + 12 x + 54$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} + 9 x^{2} + 12 x + 54$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [54]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [54]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [54]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [54]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [54]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [54]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [54]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $9$ .

$6 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [54]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 18 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [54]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x^{2} + 18 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [54]$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $12$ per $1$ .

$6 x^{2} + 18 x + 12 + \frac{d}{d x} [54]$

Passaggio 1.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Poiché $54$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $54$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 x^{2} + 18 x + 12 + 0$

Passaggio 1.1.5.2

Somma $6 x^{2} + 18 x + 12$ e $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 18 x + 12$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x^{2} + 18 x + 12$ .

$6 x^{2} + 18 x + 12$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 x^{2} + 18 x + 12 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$6 x^{2} + 18 x + 12 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $6$ da $6 x^{2} + 18 x + 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $6$ da $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) + 18 x + 12 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $6$ da $18 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (3 x) + 12 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $6$ da $12$ .

$6 x^{2} + 6 (3 x) + 6 \cdot 2 = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $6$ da $6 x^{2} + 6 (3 x)$ .

$6 (x^{2} + 3 x) + 6 \cdot 2 = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $6$ da $6 (x^{2} + 3 x) + 6 \cdot 2$ .

$6 (x^{2} + 3 x + 2) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

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Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $x^{2} + 3 x + 2$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $2$ e la cui somma è $3$ .

$1, 2$

Passaggio 2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$6 ((x + 1) (x + 2)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$6 (x + 1) (x + 2) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.4.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 (x + 1) (x + 2) = 0$ vera.

$x = - 1, - 2$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $- 1, - 2$ .

$- 1, - 2$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f' (- 3) = 6 {(- 3)}^{2} + 18 (- 3) + 12$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 3) = 6 \cdot 9 + 18 (- 3) + 12$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $6$ per $9$ .

$f' (- 3) = 54 + 18 (- 3) + 12$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $18$ per $- 3$ .

$f' (- 3) = 54 - 54 + 12$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $54$ da $54$ .

$f' (- 3) = 0 + 12$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $0$ e $12$ .

$f' (- 3) = 12$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $12$ .

$12$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 3$ la derivata è $12$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - 2)$ .

Crescente su $(- \infty, - 2)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2, - 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f' (- \frac{3}{2}) = 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 18 (- \frac{3}{2}) + 12$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 6.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) + 18 (- \frac{3}{2}) + 12$

Passaggio 6.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 6 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 18 (- \frac{3}{2}) + 12$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 6 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 18 (- \frac{3}{2}) + 12$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 6 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 18 (- \frac{3}{2}) + 12$

Passaggio 6.2.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 6 (\frac{9}{2^{2}}) + 18 (- \frac{3}{2}) + 12$

Passaggio 6.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 6 (\frac{9}{4}) + 18 (- \frac{3}{2}) + 12$

Passaggio 6.2.1.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.2.1.6.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 (3) (\frac{9}{4}) + 18 (- \frac{3}{2}) + 12$

Passaggio 6.2.1.6.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{9}{2 \cdot 2})) + 18 (- \frac{3}{2}) + 12$

Passaggio 6.2.1.6.3

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{9}{2 \cdot 2})) + 18 (- \frac{3}{2}) + 12$

Passaggio 6.2.1.6.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{3}{2}) = 3 (\frac{9}{2}) + 18 (- \frac{3}{2}) + 12$

Passaggio 6.2.1.7

$3$ e $\frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{3 \cdot 9}{2} + 18 (- \frac{3}{2}) + 12$

Passaggio 6.2.1.8

Moltiplica $3$ per $9$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 18 (- \frac{3}{2}) + 12$

Passaggio 6.2.1.9

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.2.1.9.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{2}$ nel numeratore.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 18 (\frac{- 3}{2}) + 12$

Passaggio 6.2.1.9.2

Scomponi $2$ da $18$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 2 (9) (\frac{- 3}{2}) + 12$

Passaggio 6.2.1.9.3

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 2 \cdot (9 (\frac{- 3}{2})) + 12$

Passaggio 6.2.1.9.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 9 \cdot - 3 + 12$

Passaggio 6.2.1.10

Moltiplica $9$ per $- 3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 27 + 12$

Passaggio 6.2.2

Trova il comune denominatore.

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Passaggio 6.2.2.1

Scrivi $- 27$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} + 12$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica $\frac{- 27}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} \cdot \frac{2}{2} + 12$

Passaggio 6.2.2.3

Moltiplica $\frac{- 27}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + 12$

Passaggio 6.2.2.4

Scrivi $12$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{12}{1}$

Passaggio 6.2.2.5

Moltiplica $\frac{12}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{12}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 6.2.2.6

Moltiplica $\frac{12}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{12 \cdot 2}{2}$

Passaggio 6.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27 - 27 \cdot 2 + 12 \cdot 2}{2}$

Passaggio 6.2.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.4.1

Moltiplica $- 27$ per $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27 - 54 + 12 \cdot 2}{2}$

Passaggio 6.2.4.2

Moltiplica $12$ per $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{27 - 54 + 24}{2}$

Passaggio 6.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Sottrai $54$ da $27$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 24}{2}$

Passaggio 6.2.5.2

Somma $- 27$ e $24$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 6.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{3}{2}$

Passaggio 6.2.6

La risposta finale è $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - \frac{3}{2}$ la derivata è $- \frac{3}{2}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 2, - 1)$ .

Decrescente su $(- 2, - 1)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = 6 {(0)}^{2} + 18 (0) + 12$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 6 \cdot 0 + 18 (0) + 12$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $6$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 18 (0) + 12$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $18$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 12$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 + 12$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $0$ e $12$ .

$f' (0) = 12$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $12$ .

$12$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 0$ la derivata è $12$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 1, \infty)$ .

Crescente su $(- 1, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - 2), (- 1, \infty)$

Decrescente su: $(- 2, - 1)$

Passaggio 9