Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{3} + 5 x^{2} - 12$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} + 5 x^{2} - 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 x^{2} + 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$6 x^{2} + 10 x + \frac{d}{d x} [- 12]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 x^{2} + 10 x + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $6 x^{2} + 10 x$ e $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 10 x$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x^{2} + 10 x$ .

$6 x^{2} + 10 x$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 x^{2} + 10 x = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$6 x^{2} + 10 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $2 x$ da $6 x^{2} + 10 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $2 x$ da $6 x^{2}$ .

$2 x (3 x) + 10 x = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $2 x$ da $10 x$ .

$2 x (3 x) + 2 x (5) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (3 x) + 2 x (5)$ .

$2 x (3 x + 5) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$3 x + 5 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $3 x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $3 x + 5$ uguale a $0$ .

$3 x + 5 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $3 x + 5 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 5$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 5$ e semplifica.

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Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 5$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Passaggio 2.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 5}{3}$

Passaggio 2.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{5}{3}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x (3 x + 5) = 0$ vera.

$x = 0, - \frac{5}{3}$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, - \frac{5}{3}$ .

$0, - \frac{5}{3}$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - \frac{5}{3}) \cup (- \frac{5}{3}, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{5}{3})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2.6666666$ nell'espressione.

$f' (- 2.6666666) = 6 {(- 2.6666666)}^{2} + 10 (- 2.6666666)$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 2.6666666$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2.6666666) = 6 \cdot 7.11111075 + 10 (- 2.6666666)$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $6$ per $7.11111075$ .

$f' (- 2.6666666) = 42.66666453 + 10 (- 2.6666666)$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $10$ per $- 2.6666666$ .

$f' (- 2.6666666) = 42.66666453 - 26.666666$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $26.666666$ da $42.66666453$ .

$f' (- 2.6666666) = 15.99999853$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $15.99999853$ .

$15.99999853$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 2.6666666$ la derivata è $15.99999853$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - \frac{5}{3})$ .

Crescente su $(- \infty, - \frac{5}{3})$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1.6666666, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.8333333$ nell'espressione.

$f' (- 0.8333333) = 6 {(- 0.8333333)}^{2} + 10 (- 0.8333333)$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 0.8333333$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 0.8333333) = 6 \cdot 0.69444438 + 10 (- 0.8333333)$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $6$ per $0.69444438$ .

$f' (- 0.8333333) = 4.166666\overline{3} + 10 (- 0.8333333)$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $10$ per $- 0.8333333$ .

$f' (- 0.8333333) = 4.166666\overline{3} - 8.333333$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $8.333333$ da $4.166666\overline{3}$ .

$f' (- 0.8333333) = - 4.1\overline{6}$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 4.1\overline{6}$ .

$- 4.1\overline{6}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 0.8333333$ la derivata è $- 4.1\overline{6}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 1.6666666, 0)$ .

Decrescente su $(- \frac{5}{3}, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 6 {(1)}^{2} + 10 (1)$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 6 \cdot 1 + 10 (1)$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f' (1) = 6 + 10 (1)$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $10$ per $1$ .

$f' (1) = 6 + 10$

Passaggio 7.2.2

Somma $6$ e $10$ .

$f' (1) = 16$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $16$ .

$16$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $16$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - \frac{5}{3}), (0, \infty)$

Decrescente su: $(- \frac{5}{3}, 0)$

Passaggio 9