Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 3$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 2 x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x + 0$

Passaggio 1.1.3.2

Somma $4 x^{3} - 4 x$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} - 4 x$ .

$4 x^{3} - 4 x$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 4 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} - 4 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3} - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 4 x = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $4 x$ da $- 4 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 1) = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $4 x$ da $4 x (x^{2}) + 4 x (- 1)$ .

$4 x (x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$4 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 2.6

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.6.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 x (x + 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 0, - 1, 1$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, - 1, 1$ .

$0, - 1, 1$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3} - 4 \cdot - 2$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8 - 4 \cdot - 2$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 8$ .

$f' (- 2) = - 32 - 4 \cdot - 2$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = - 32 + 8$

Passaggio 5.2.2

Somma $- 32$ e $8$ .

$f' (- 2) = - 24$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 24$ .

$- 24$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 2$ la derivata è $- 24$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - 1)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 1)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 4 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 6.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) - 4 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 6.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (- \frac{1}{2^{3}}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 6.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (- \frac{1}{8}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 6.2.1.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{8}$ nel numeratore.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{- 1}{8}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 6.2.1.5.2

Scomponi $4$ da $8$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{- 1}{4 (2)}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 6.2.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{- 1}{4 \cdot 2}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 6.2.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1}{2} - 4 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 6.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 4 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 6.2.1.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 4 (\frac{- 1}{2})$

Passaggio 6.2.1.7.2

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 2 (- 2) (\frac{- 1}{2})$

Passaggio 6.2.1.7.3

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 2 \cdot (- 2 (\frac{- 1}{2}))$

Passaggio 6.2.1.7.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 2 \cdot - 1$

Passaggio 6.2.1.8

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 2$

Passaggio 6.2.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 6.2.3

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Passaggio 6.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}$

Passaggio 6.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 4}{2}$

Passaggio 6.2.5.2

Somma $- 1$ e $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$

Passaggio 6.2.6

La risposta finale è $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - \frac{1}{2}$ la derivata è $\frac{3}{2}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 1, 0)$ .

Crescente su $(- 1, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 {(\frac{1}{2})}^{3} - 4 (\frac{1}{2})$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1^{3}}{2^{3}}) - 4 (\frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{2^{3}}) - 4 (\frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{8}) - 4 (\frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.4.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{4 (2)}) - 4 (\frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{4 \cdot 2}) - 4 (\frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 4 (\frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.5.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 2 (- 2) (\frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 2 \cdot (- 2 (\frac{1}{2}))$

Passaggio 7.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2$

Passaggio 7.2.2

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 7.2.3

$- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Passaggio 7.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 2 \cdot 2}{2}$

Passaggio 7.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.5.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 4}{2}$

Passaggio 7.2.5.2

Sottrai $4$ da $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 7.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}$

Passaggio 7.2.7

La risposta finale è $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = \frac{1}{2}$ la derivata è $- \frac{3}{2}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, 1)$ .

Decrescente su $(0, 1)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 4 \cdot 2$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 4 \cdot 2$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $4$ per $8$ .

$f' (2) = 32 - 4 \cdot 2$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$f' (2) = 32 - 8$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $8$ da $32$ .

$f' (2) = 24$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $24$ .

$24$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 2$ la derivata è $24$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(1, \infty)$ .

Crescente su $(1, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- 1, 0), (1, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, - 1), (0, 1)$

Passaggio 10