Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 9$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 4 x^{3} + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 0$

Passaggio 1.1.3.2

Somma $4 x^{3} - 12 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $4 x^{2}$ da $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $4 x^{2}$ da $4 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $4 x^{2}$ da $- 12 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $4 x^{2}$ da $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3)$ .

$4 x^{2} (x - 3) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 x^{2} (x - 3) = 0$ vera.

$x = 0, 3$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, 3$ .

$0, 3$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} - 12 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 1) = 4 \cdot - 1 - 12 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 - 12 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = - 4 - 12 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$f' (- 1) = - 4 - 12$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $12$ da $- 4$ .

$f' (- 1) = - 16$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 16$ .

$- 16$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $- 16$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 3)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 {(\frac{3}{2})}^{3} - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{2^{3}}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{8}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 6.2.1.4.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{4 (2)}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{4 \cdot 2}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 6.2.1.6

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 \frac{9}{2^{2}}$

Passaggio 6.2.1.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 (\frac{9}{4})$

Passaggio 6.2.1.8

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 6.2.1.8.1

Scomponi $4$ da $- 12$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 4 (- 3) (\frac{9}{4})$

Passaggio 6.2.1.8.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 4 \cdot (- 3 (\frac{9}{4}))$

Passaggio 6.2.1.8.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 3 \cdot 9$

Passaggio 6.2.1.9

Moltiplica $- 3$ per $9$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 27$

Passaggio 6.2.2

Per scrivere $- 27$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 27 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 6.2.3

$- 27$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2}$

Passaggio 6.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 27 \cdot 2}{2}$

Passaggio 6.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.2.5.1

Moltiplica $- 27$ per $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 54}{2}$

Passaggio 6.2.5.2

Sottrai $54$ da $27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 27}{2}$

Passaggio 6.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{27}{2}$

Passaggio 6.2.7

La risposta finale è $- \frac{27}{2}$ .

$- \frac{27}{2}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = \frac{3}{2}$ la derivata è $- \frac{27}{2}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, 3)$ .

Decrescente su $(0, 3)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(3, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 12 {(4)}^{2}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Moltiplica $4$ per ${(4)}^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Moltiplica $4$ per ${(4)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $1$ .

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 12 {(4)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (4) = 4^{1 + 3} - 12 {(4)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.1.2

Somma $1$ e $3$ .

$f' (4) = 4^{4} - 12 {(4)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$f' (4) = 256 - 12 {(4)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f' (4) = 256 - 12 \cdot 16$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $- 12$ per $16$ .

$f' (4) = 256 - 192$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $192$ da $256$ .

$f' (4) = 64$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $64$ .

$64$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 4$ la derivata è $64$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(3, \infty)$ .

Crescente su $(3, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(3, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, 0), (0, 3)$

Passaggio 9