Calcolo Esempi

$\int_{- \infty}^{\infty} x e^{1 - x^{2}} d x$

Passaggio 1

Dividi l'integrale in $0$ e scrivilo come una somma di limiti.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} x e^{1 - x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 1 - x^{2}$ . Allora $d u = - 2 x d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = 1 - x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 2 x$

Passaggio 2.1.4

Sottrai $2 x$ da $0$ .

$- 2 x$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - t^{2}$

Passaggio 2.3

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - 0^{2}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{upper} = 1 - 0$

Passaggio 2.4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{upper} = 1 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $1$ e $0$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 2.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1 - t^{2}$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 2.6

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Passaggio 3.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} - \frac{e^{u}}{2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$lim_{t \to - \infty} - \int_{1 - t^{2}}^{1} \frac{e^{u}}{2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$lim_{t \to - \infty} - (\frac{1}{2} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} d u) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Passaggio 6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Passaggio 7

$e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1}$ e $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Calcola $e^{u}$ per $1$ e per $1 - t^{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{(e^{1}) - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Passaggio 8.2

Semplifica.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Passaggio 9

Sia $u = 1 - x^{2}$ . Allora $d u = - 2 x d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sia $u = 1 - x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Differenzia $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Passaggio 9.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 9.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 9.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 9.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Passaggio 9.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 2 x$

Passaggio 9.1.4

Sottrai $2 x$ da $0$ .

$- 2 x$

Passaggio 9.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Passaggio 9.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Passaggio 9.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 9.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - t^{2}$

Passaggio 9.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 - t^{2}$

Passaggio 9.6

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 10.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \int_{1}^{1 - t^{2}} \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 12

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} d u)$

Passaggio 13

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}$

Passaggio 14

$e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}}{2}$

Passaggio 15

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Calcola $e^{u}$ per $1 - t^{2}$ e per $1$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{(e^{1 - t^{2}}) - e^{1}}{2}$

Passaggio 15.2

Semplifica.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Passaggio 16

Calcola i limiti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$- lim_{t \to - \infty} \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Passaggio 16.1.2

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} e - e^{1 - t^{2}} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Passaggio 16.1.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $- \infty$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} e - lim_{t \to - \infty} e^{1 - t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Passaggio 16.1.4

Calcola il limite di $e$ che è costante, mentre $t$ tende a $- \infty$ .

$- \frac{1}{2} (e - lim_{t \to - \infty} e^{1 - t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Passaggio 16.2

Poiché l'esponente $1 - t^{2}$ tende a $- \infty$ , la quantità $e^{1 - t^{2}}$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Passaggio 16.3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - lim_{t \to \infty} \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Passaggio 16.3.2

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{1 - t^{2}} - e$

Passaggio 16.3.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{1 - t^{2}} - lim_{t \to \infty} e)$

Passaggio 16.4

Poiché l'esponente $1 - t^{2}$ tende a $- \infty$ , la quantità $e^{1 - t^{2}}$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} e)$

Passaggio 16.5

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.1

Calcola il limite di $e$ che è costante, mentre $t$ tende a $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (0 - e)$

Passaggio 16.5.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.2.1.1

Sottrai $0$ da $e$ .

$- \frac{1}{2} e - \frac{1}{2} (0 - e)$

Passaggio 16.5.2.1.2

$e$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e}{2} - \frac{1}{2} (0 - e)$

Passaggio 16.5.2.1.3

Sottrai $e$ da $0$ .

$- \frac{e}{2} - \frac{1}{2} (- e)$

Passaggio 16.5.2.1.4

Moltiplica $- \frac{1}{2} (- e)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{e}{2} + 1 (\frac{1}{2}) e$

Passaggio 16.5.2.1.4.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$- \frac{e}{2} + \frac{1}{2} e$

Passaggio 16.5.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $e$ .

$- \frac{e}{2} + \frac{e}{2}$

Passaggio 16.5.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- e + e}{2}$

Passaggio 16.5.2.3

Somma $- e$ e $e$ .

$\frac{0}{2}$

Passaggio 16.5.2.4

Dividi $0$ per $2$ .

$0$