Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 24 x + 12$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x + 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$3 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24 x$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 18 x + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} - 18 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $24$ per $1$ .

$3 x^{2} - 18 x + 24 + \frac{d}{d x} [12]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} - 18 x + 24 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $3 x^{2} - 18 x + 24$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 24$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 18 x + 24$ .

$3 x^{2} - 18 x + 24$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 18 x + 24 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 18 x + 24 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2} - 18 x + 24$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 18 x + 24 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $3$ da $- 18 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 6 x) + 24 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $3$ da $24$ .

$3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 8 = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $3$ da $3 x^{2} + 3 (- 6 x)$ .

$3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 8 = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $3$ da $3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 8$ .

$3 (x^{2} - 6 x + 8) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

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Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 6 x + 8$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $8$ e la cui somma è $- 6$ .

$- 4, - 2$

Passaggio 2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$3 ((x - 4) (x - 2)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$3 (x - 4) (x - 2) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 (x - 4) (x - 2) = 0$ vera.

$x = 4, 2$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $4, 2$ .

$4, 2$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} - 18 \cdot 1 + 24$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 3 \cdot 1 - 18 \cdot 1 + 24$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (1) = 3 - 18 \cdot 1 + 24$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 18$ per $1$ .

$f' (1) = 3 - 18 + 24$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $18$ da $3$ .

$f' (1) = - 15 + 24$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $- 15$ e $24$ .

$f' (1) = 9$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $9$ .

$9$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $9$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, 2)$ .

Crescente su $(- \infty, 2)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2, 4)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} - 18 \cdot 3 + 24$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $3$ per ${(3)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Moltiplica $3$ per ${(3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} - 18 \cdot 3 + 24$

Passaggio 6.2.1.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (3) = 3^{1 + 2} - 18 \cdot 3 + 24$

Passaggio 6.2.1.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$f' (3) = 3^{3} - 18 \cdot 3 + 24$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f' (3) = 27 - 18 \cdot 3 + 24$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 18$ per $3$ .

$f' (3) = 27 - 54 + 24$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $54$ da $27$ .

$f' (3) = - 27 + 24$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $- 27$ e $24$ .

$f' (3) = - 3$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 3$ la derivata è $- 3$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(2, 4)$ .

Decrescente su $(2, 4)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(4, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f' (5) = 3 {(5)}^{2} - 18 \cdot 5 + 24$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f' (5) = 3 \cdot 25 - 18 \cdot 5 + 24$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $3$ per $25$ .

$f' (5) = 75 - 18 \cdot 5 + 24$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 18$ per $5$ .

$f' (5) = 75 - 90 + 24$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $90$ da $75$ .

$f' (5) = - 15 + 24$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $- 15$ e $24$ .

$f' (5) = 9$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $9$ .

$9$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 5$ la derivata è $9$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(4, \infty)$ .

Crescente su $(4, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, 2), (4, \infty)$

Decrescente su: $(2, 4)$

Passaggio 9