Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 24 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 6 x^{2} - 24 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 24 x$ rispetto a $x$ è $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 12 x - 24 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} - 12 x - 24 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 24$ per $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 24$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 12 x - 24$ .

$3 x^{2} - 12 x - 24$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 12 x - 24 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 12 x - 24 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $3$ da $3 x^{2} - 12 x - 24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 12 x - 24 = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $3$ da $- 12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) - 24 = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $3$ da $- 24$ .

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot - 8 = 0$

Passaggio 2.2.4

Scomponi $3$ da $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ .

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 8 = 0$

Passaggio 2.2.5

Scomponi $3$ da $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 8$ .

$3 (x^{2} - 4 x - 8) = 0$

Passaggio 2.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 (x^{2} - 4 x - 8) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 (x^{2} - 4 x - 8) = 0$ .

$\frac{3 (x^{2} - 4 x - 8)}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (x^{2} - 4 x - 8)}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x^{2} - 4 x - 8$ per $1$ .

$x^{2} - 4 x - 8 = \frac{0}{3}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$x^{2} - 4 x - 8 = 0$

Passaggio 2.4

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.5

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 4$ e $c = - 8$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 8)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.3

Somma $16$ e $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.4

Riscrivi $48$ come $4^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.4.1

Scomponi $16$ da $48$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.6.3

Semplifica $\frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 \sqrt{3}$

Passaggio 2.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.1.3

Somma $16$ e $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.1.4

Riscrivi $48$ come $4^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.4.1

Scomponi $16$ da $48$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.7.3

Semplifica $\frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 \sqrt{3}$

Passaggio 2.7.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = 2 + 2 \sqrt{3}$

Passaggio 2.8

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.8.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.8.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.8.1.3

Somma $16$ e $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.8.1.4

Riscrivi $48$ come $4^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.4.1

Scomponi $16$ da $48$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.8.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.8.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.8.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.8.3

Semplifica $\frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 \sqrt{3}$

Passaggio 2.8.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = 2 - 2 \sqrt{3}$

Passaggio 2.9

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 2 + 2 \sqrt{3}, 2 - 2 \sqrt{3}$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $2 + 2 \sqrt{3}, 2 - 2 \sqrt{3}$ .

$2 + 2 \sqrt{3}, 2 - 2 \sqrt{3}$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3}) \cup (2 - 2 \sqrt{3}, 2 + 2 \sqrt{3}) \cup (2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2.4641017$ nell'espressione.

$f' (- 2.4641017) = 3 {(- 2.4641017)}^{2} - 12 \cdot - 2.4641017 - 24$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 2.4641017$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2.4641017) = 3 \cdot 6.07179718 - 12 \cdot - 2.4641017 - 24$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $3$ per $6.07179718$ .

$f' (- 2.4641017) = 18.21539156 - 12 \cdot - 2.4641017 - 24$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 12$ per $- 2.4641017$ .

$f' (- 2.4641017) = 18.21539156 + 29.5692204 - 24$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Somma $18.21539156$ e $29.5692204$ .

$f' (- 2.4641017) = 47.78461196 - 24$

Passaggio 5.2.2.2

Sottrai $24$ da $47.78461196$ .

$f' (- 2.4641017) = 23.78461196$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $23.78461196$ .

$23.78461196$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 2.4641017$ la derivata è $23.78461196$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3})$ .

Crescente su $(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3})$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1.4641017, 2 + 2 \sqrt{3})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.00000015$ nell'espressione.

$f' (2.00000015) = 3 {(2.00000015)}^{2} - 12 \cdot 2.00000015 - 24$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $2.00000015$ alla potenza di $2$ .

$f' (2.00000015) = 3 \cdot 4.0000006 - 12 \cdot 2.00000015 - 24$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $3$ per $4.0000006$ .

$f' (2.00000015) = 12.0000018 - 12 \cdot 2.00000015 - 24$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 12$ per $2.00000015$ .

$f' (2.00000015) = 12.0000018 - 24.0000018 - 24$

Passaggio 6.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $24.0000018$ da $12.0000018$ .

$f' (2.00000015) = - 12 - 24$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $24$ da $- 12$ .

$f' (2.00000015) = - 36$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 36$ .

$- 36$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 2.00000015$ la derivata è $- 36$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 1.4641017, 2 + 2 \sqrt{3})$ .

Decrescente su $(2 - 2 \sqrt{3}, 2 + 2 \sqrt{3})$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6.464102$ nell'espressione.

$f' (6.464102) = 3 {(6.464102)}^{2} - 12 \cdot 6.464102 - 24$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $6.464102$ alla potenza di $2$ .

$f' (6.464102) = 3 \cdot 41.78461466 - 12 \cdot 6.464102 - 24$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $3$ per $41.78461466$ .

$f' (6.464102) = 125.35384399 - 12 \cdot 6.464102 - 24$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 12$ per $6.464102$ .

$f' (6.464102) = 125.35384399 - 77.569224 - 24$

Passaggio 7.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $77.569224$ da $125.35384399$ .

$f' (6.464102) = 47.78461999 - 24$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $24$ da $47.78461999$ .

$f' (6.464102) = 23.78461999$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $23.78461999$ .

$23.78461999$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 6.464102$ la derivata è $23.78461999$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$ .

Crescente su $(2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, 2 - 2 \sqrt{3}), (2 + 2 \sqrt{3}, \infty)$

Decrescente su: $(2 - 2 \sqrt{3}, 2 + 2 \sqrt{3})$

Passaggio 9