Calcolo Esempi

$f (x) = - x^{3} - 3 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{3} - 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 x^{2} - 3 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} - 3$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 x^{2} - 3$ .

$- 3 x^{2} - 3$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 3 x^{2} - 3 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 3 x^{2} - 3 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 x^{2} = 3$

Passaggio 2.3

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x^{2} = 3$ e semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x^{2} = 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{- 3}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.3.1

Dividi $3$ per $- 3$ .

$x^{2} = - 1$

Passaggio 2.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Passaggio 2.5

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i$

Passaggio 2.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i$

Passaggio 2.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i$

Passaggio 2.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i, - i$

Passaggio 3

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 4

Nessun punto rende la derivata $f' (x) = - 3 x^{2} - 3$ uguale a $0$ o indefinita. L'intervallo per verificare se $f (x) = - x^{3} - 3 x$ è crescente o decrescente è $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $1$ , dell'intervallo $(- \infty, \infty)$ nella derivata $f' (x) = - 3 x^{2} - 3$ per verificare se il risultato è positivo o negativo. Se è negativo, il grafico è decrescente nell'intervallo $(- \infty, \infty)$ . Se è positivo, il grafico è crescente nell'intervallo $(- \infty, \infty)$ .

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = - 3 {(1)}^{2} - 3$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = - 3 \cdot 1 - 3$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f' (1) = - 3 - 3$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $3$ da $- 3$ .

$f' (1) = - 6$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 6$ .

$- 6$

Passaggio 6

Il risultato della sostituzione di $1$ in $f' (x) = - 3 x^{2} - 3$ è $- 6$ , che è negativo; quindi, il grafico è decrescente nell'intervallo $(- \infty, \infty)$ .

Decrescente su $(- \infty, \infty)$

Passaggio 7

Decrescente sull'intervallo $(- \infty, \infty)$ significa che la funzione è sempre decrescente.

Sempre decrescente

Passaggio 8