Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} + 5 x^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 5 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{3}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 x^{3} + 5 (3 x^{2})$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $5$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 15 x^{2}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} + 15 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 15 x^{2}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} + 15 x^{2} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} + 15 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $x^{2}$ da $4 x^{3} + 15 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $4 x^{3}$ .

$x^{2} (4 x) + 15 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $x^{2}$ da $15 x^{2}$ .

$x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 15 = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 15$ .

$x^{2} (4 x + 15) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$4 x + 15 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $4 x + 15$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $4 x + 15$ uguale a $0$ .

$4 x + 15 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $4 x + 15 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Sottrai $15$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = - 15$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 15$ e semplifica.

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Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 15$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 15}{4}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 2.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 15}{4}$

Passaggio 2.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 15}{4}$

Passaggio 2.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{15}{4}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x^{2} (4 x + 15) = 0$ vera.

$x = 0, - \frac{15}{4}$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, - \frac{15}{4}$ .

$0, - \frac{15}{4}$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - \frac{15}{4}) \cup (- \frac{15}{4}, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{15}{4})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4.75$ nell'espressione.

$f' (- 4.75) = 4 {(- 4.75)}^{3} + 15 {(- 4.75)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 4.75$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 4.75) = 4 \cdot - 107.171875 + 15 {(- 4.75)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 107.171875$ .

$f' (- 4.75) = - 428.6875 + 15 {(- 4.75)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $- 4.75$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 4.75) = - 428.6875 + 15 \cdot 22.5625$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $15$ per $22.5625$ .

$f' (- 4.75) = - 428.6875 + 338.4375$

Passaggio 5.2.2

Somma $- 428.6875$ e $338.4375$ .

$f' (- 4.75) = - 90.25$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 90.25$ .

$- 90.25$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 4.75$ la derivata è $- 90.25$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - \frac{15}{4})$ .

Decrescente su $(- \infty, - \frac{15}{4})$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 3.75, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.875$ nell'espressione.

$f' (- 1.875) = 4 {(- 1.875)}^{3} + 15 {(- 1.875)}^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 1.875$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 1.875) = 4 \cdot - 6.59179687 + 15 {(- 1.875)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 6.59179687$ .

$f' (- 1.875) = - 26.3671875 + 15 {(- 1.875)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $- 1.875$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1.875) = - 26.3671875 + 15 \cdot 3.515625$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $15$ per $3.515625$ .

$f' (- 1.875) = - 26.3671875 + 52.734375$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 26.3671875$ e $52.734375$ .

$f' (- 1.875) = 26.3671875$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $26.3671875$ .

$26.3671875$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 1.875$ la derivata è $26.3671875$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 3.75, 0)$ .

Crescente su $(- \frac{15}{4}, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 4 {(1)}^{3} + 15 {(1)}^{2}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 4 \cdot 1 + 15 {(1)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f' (1) = 4 + 15 {(1)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 4 + 15 \cdot 1$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $15$ per $1$ .

$f' (1) = 4 + 15$

Passaggio 7.2.2

Somma $4$ e $15$ .

$f' (1) = 19$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $19$ .

$19$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $19$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \frac{15}{4}, 0), (0, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, - \frac{15}{4})$

Passaggio 9