Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x - 1$ e $g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Moltiplica $x^{2} + 3$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.8.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.8.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 3 + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4

Riordina i termini.

$\frac{- x^{2} + 2 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 1.1.3.5.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ e la cui somma è $b = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{- x^{2} + 2 (x) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.1.2

Riscrivi $2$ come $- 1$ più $3$ .

$\frac{- x^{2} + (- 1 + 3) x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x^{2} - 1 x + 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.1.3.5.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) + 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{x (- x - 1) - 3 (- x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.6

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{(- (x) - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.7

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (1)) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.8

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.9

Riscrivi $- (x + 1)$ come $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$(x + 1) (x - 3) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.3.2

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.3.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 2.3.3

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.3.3.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 2.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 1) (x - 3) = 0$ vera.

$x = - 1, 3$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $- 1, 3$ .

$- 1, 3$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = - \frac{((- 2) + 1) ((- 2) - 3)}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Somma $- 2$ e $1$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 (- 2 - 3)}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.2

Sottrai $3$ da $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{{(4 + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $4$ e $3$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{7^{2}}$

Passaggio 5.2.2.3

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{49}$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$f' (- 2) = - \frac{5}{49}$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $- \frac{5}{49}$ .

$- \frac{5}{49}$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 2$ la derivata è $- \frac{5}{49}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - 1)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 1)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, 3)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = - \frac{((1) + 1) ((1) - 3)}{{({(1)}^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Somma $1$ e $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 3)}{{(1^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{{(1^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{{(1 + 3)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $1$ e $3$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{4^{2}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{16}$

Passaggio 6.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f' (1) = - \frac{- 4}{16}$

Passaggio 6.2.3.2

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$f' (1) = - \frac{4 (- 1)}{16}$

Passaggio 6.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$f' (1) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (1) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (1) = - \frac{- 1}{4}$

Passaggio 6.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (1) = \frac{1}{4}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $\frac{1}{4}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 1, 3)$ .

Crescente su $(- 1, 3)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(3, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = - \frac{((4) + 1) ((4) - 3)}{{({(4)}^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Somma $4$ e $1$ .

$f' (4) = - \frac{5 (4 - 3)}{{(4^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{{(4^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{{(16 + 3)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $16$ e $3$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{19^{2}}$

Passaggio 7.2.2.3

Eleva $19$ alla potenza di $2$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{361}$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$f' (4) = - \frac{5}{361}$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $- \frac{5}{361}$ .

$- \frac{5}{361}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 4$ la derivata è $- \frac{5}{361}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(3, \infty)$ .

Decrescente su $(3, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- 1, 3)$

Decrescente su: $(- \infty, - 1), (3, \infty)$

Passaggio 9