Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x + 6}{x + 2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x + 6$ e $g (x) = x + 2$ .

$f' (x) = \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} (x + 6) - (x + 6) \frac{d}{d x} (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6)) - (x + 6) \frac{d}{d x} (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (6)) - (x + 6) \frac{d}{d x} (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{(x + 2) (1 + 0) - (x + 6) \frac{d}{d x} (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x + 2) \cdot 1 - (x + 6) \frac{d}{d x} (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Moltiplica $x + 2$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 - (x + 6) \frac{d}{d x} (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 - (x + 6) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2))}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 - (x + 6) (1 + \frac{d}{d x} (2))}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 - (x + 6) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 - (x + 6) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.8.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 - (x + 6)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{x + 2 - x - 1 \cdot 6}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Combina i termini opposti in $x + 2 - x - 1 \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$f' (x) = \frac{0 + 2 - 1 \cdot 6}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.2

Somma $0$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 - 1 \cdot 6}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$f' (x) = \frac{2 - 6}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$f' (x) = \frac{- 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{4}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{4}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$- \frac{4}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{4}{{(x + 2)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{4}{{(x + 2)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 = 0$

Passaggio 2.3

Poiché $4 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta il denominatore in $\frac{4}{{(x + 2)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poni $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 5

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = - \frac{4}{{(x + 2)}^{2}}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = \frac{x + 6}{x + 2}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$ .

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f' (- 3) = - \frac{4}{{((- 3) + 2)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Somma $- 3$ e $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{4}{{(- 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{4}{1}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Dividi $4$ per $1$ .

$f' (- 3) = - 1 \cdot 4$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f' (- 3) = - 4$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 4$ .

$- 4$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 3$ la derivata è $- 4$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - 2)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 2)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = - \frac{4}{{((- 1) + 2)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Somma $- 1$ e $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{4}{1^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (- 1) = - \frac{4}{1}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Dividi $4$ per $1$ .

$f' (- 1) = - 1 \cdot 4$

Passaggio 7.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f' (- 1) = - 4$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 4$ .

$- 4$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $- 4$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 2, \infty)$ .

Decrescente su $(- 2, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Decrescente su: $(- \infty, - 2), (- 2, \infty)$

Passaggio 9