Calcolo Esempi

$y = \frac{4 x - 8}{2 x + 3}$ , $x = 2$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 4 x - 8$ e $g (x) = 2 x + 3$ .

$\frac{(2 x + 3) \frac{d}{d x} [4 x - 8] - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(2 x + 3) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 3) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{(2 x + 3) (4 + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(2 x + 3) (4 + 0) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.6.1

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{(2 x + 3) \cdot 4 - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.6.2

Sposta $4$ alla sinistra di $2 x + 3$ .

$\frac{4 \cdot (2 x + 3) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (2 + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) (2 + 0)}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.12.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - (4 x - 8) \cdot 2}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.12.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{4 (2 x + 3) - 2 (4 x - 8)}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (2 x) + 4 \cdot 3 - 2 (4 x - 8)}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (2 x) + 4 \cdot 3 - 2 (4 x) - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.1

Combina i termini opposti in $4 (2 x) + 4 \cdot 3 - 2 (4 x) - 2 \cdot - 8$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Riordina i fattori nei termini di $4 (2 x)$ e $- 2 (4 x)$ .

$\frac{2 \cdot 4 x + 4 \cdot 3 - 2 \cdot 4 x - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Sottrai $2 \cdot 4 x$ da $2 \cdot 4 x$ .

$\frac{4 \cdot 3 + 0 - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3

Somma $4 \cdot 3$ e $0$ .

$\frac{4 \cdot 3 - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{12 - 2 \cdot - 8}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $- 2$ per $- 8$ .

$\frac{12 + 16}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Somma $12$ e $16$ .

$\frac{28}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 4

Calcola la derivata per $x = 2$ .

$\frac{28}{{(2 (2) + 3)}^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{28}{{(4 + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2

Somma $4$ e $3$ .

$\frac{28}{7^{2}}$

Passaggio 5.1.3

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$\frac{28}{49}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $28$ e $49$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $7$ da $28$ .

$\frac{7 (4)}{49}$

Passaggio 5.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $7$ da $49$ .

$\frac{7 \cdot 4}{7 \cdot 7}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{7 \cdot 4}{7 \cdot 7}$

Passaggio 5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{7}$