Calcolo Esempi

$y = (3 x^{2} - 5 x + 1) (2 - 3 x - x^{2})$ , $x = 4$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 3 x^{2} - 5 x + 1$ e $g (x) = 2 - 3 x - x^{2}$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) \frac{d}{d x} [2 - 3 x - x^{2}] + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

Passaggio 2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - 3 x - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

Passaggio 2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

Passaggio 2.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

Passaggio 2.6

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

Passaggio 2.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - (2 x)) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

Passaggio 2.9

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 1]$

Passaggio 2.10

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 5 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.11

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.13

Moltiplica $2$ per $3$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.14

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.15

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.16

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.17

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5 + 0)$

Passaggio 2.18

Somma $6 x - 5$ e $0$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $1$ da $(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $1$ da $(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x)$ .

$1 ((3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x)) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $1$ da $(2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$ .

$1 ((3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x)) + 1 ((2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5))$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $1$ da $1 ((3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x)) + 1 ((2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5))$ .

$1 ((3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5))$

Passaggio 3.2

Moltiplica $(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$ per $1$ .

$(3 x^{2} - 5 x + 1) (- 3 - 2 x) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Passaggio 3.3

Riordina i termini.

$(- 3 - 2 x) (3 x^{2} - 5 x + 1) + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Passaggio 3.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Espandi $(- 3 - 2 x) (3 x^{2} - 5 x + 1)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$- 3 (3 x^{2}) - 3 (- 5 x) - 3 \cdot 1 - 2 x (3 x^{2}) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Passaggio 3.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$- 9 x^{2} - 3 (- 5 x) - 3 \cdot 1 - 2 x (3 x^{2}) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica $- 5$ per $- 3$ .

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 \cdot 1 - 2 x (3 x^{2}) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Passaggio 3.4.2.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 2 x (3 x^{2}) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Passaggio 3.4.2.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 2 \cdot 3 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Passaggio 3.4.2.5

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.5.1

Sposta $x^{2}$ .

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 2 \cdot 3 (x^{2} x) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Passaggio 3.4.2.5.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 2 \cdot 3 (x^{2} x^{1}) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Passaggio 3.4.2.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 2 \cdot 3 x^{2 + 1} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Passaggio 3.4.2.5.3

Somma $2$ e $1$ .

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 2 \cdot 3 x^{3} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Passaggio 3.4.2.6

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Passaggio 3.4.2.7

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} - 2 \cdot - 5 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Passaggio 3.4.2.8

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.8.1

Sposta $x$ .

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} - 2 \cdot - 5 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Passaggio 3.4.2.8.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} - 2 \cdot - 5 x^{2} - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Passaggio 3.4.2.9

Moltiplica $- 2$ per $- 5$ .

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} + 10 x^{2} - 2 x \cdot 1 + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Passaggio 3.4.2.10

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 9 x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} + 10 x^{2} - 2 x + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Passaggio 3.4.3

Somma $- 9 x^{2}$ e $10 x^{2}$ .

$x^{2} + 15 x - 3 - 6 x^{3} - 2 x + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Passaggio 3.4.4

Sottrai $2 x$ da $15 x$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + (2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$

Passaggio 3.4.5

Espandi $(2 - 3 x - x^{2}) (6 x - 5)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 2 (6 x) + 2 \cdot - 5 - 3 x (6 x) - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

Passaggio 3.4.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x + 2 \cdot - 5 - 3 x (6 x) - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

Passaggio 3.4.6.2

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 3 x (6 x) - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

Passaggio 3.4.6.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 3 \cdot 6 x \cdot x - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

Passaggio 3.4.6.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.4.1

Sposta $x$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 3 \cdot 6 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

Passaggio 3.4.6.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 3 \cdot 6 x^{2} - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

Passaggio 3.4.6.5

Moltiplica $- 3$ per $6$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} - 3 x \cdot - 5 - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

Passaggio 3.4.6.6

Moltiplica $- 5$ per $- 3$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - x^{2} (6 x) - x^{2} \cdot - 5$

Passaggio 3.4.6.7

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 1 \cdot 6 x^{2} x - x^{2} \cdot - 5$

Passaggio 3.4.6.8

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.8.1

Sposta $x$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 1 \cdot 6 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 5$

Passaggio 3.4.6.8.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.8.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 1 \cdot 6 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 5$

Passaggio 3.4.6.8.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 1 \cdot 6 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 5$

Passaggio 3.4.6.8.3

Somma $1$ e $2$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 1 \cdot 6 x^{3} - x^{2} \cdot - 5$

Passaggio 3.4.6.9

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 6 x^{3} - x^{2} \cdot - 5$

Passaggio 3.4.6.10

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 12 x - 10 - 18 x^{2} + 15 x - 6 x^{3} + 5 x^{2}$

Passaggio 3.4.7

Somma $12 x$ e $15 x$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 27 x - 10 - 18 x^{2} - 6 x^{3} + 5 x^{2}$

Passaggio 3.4.8

Somma $- 18 x^{2}$ e $5 x^{2}$ .

$x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 27 x - 10 - 6 x^{3} - 13 x^{2}$

Passaggio 3.5

Sottrai $13 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$- 12 x^{2} + 13 x - 3 - 6 x^{3} + 27 x - 10 - 6 x^{3}$

Passaggio 3.6

Somma $13 x$ e $27 x$ .

$- 12 x^{2} + 40 x - 3 - 6 x^{3} - 10 - 6 x^{3}$

Passaggio 3.7

Sottrai $10$ da $- 3$ .

$- 12 x^{2} + 40 x - 6 x^{3} - 13 - 6 x^{3}$

Passaggio 3.8

Sottrai $6 x^{3}$ da $- 6 x^{3}$ .

$- 12 x^{2} + 40 x - 12 x^{3} - 13$

Passaggio 4

Calcola la derivata per $x = 4$ .

$- 12 {(4)}^{2} + 40 (4) - 12 {(4)}^{3} - 13$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$- 12 \cdot 16 + 40 (4) - 12 {(4)}^{3} - 13$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $- 12$ per $16$ .

$- 192 + 40 (4) - 12 {(4)}^{3} - 13$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica $40$ per $4$ .

$- 192 + 160 - 12 {(4)}^{3} - 13$

Passaggio 5.1.4

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$- 192 + 160 - 12 \cdot 64 - 13$

Passaggio 5.1.5

Moltiplica $- 12$ per $64$ .

$- 192 + 160 - 768 - 13$

Passaggio 5.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Somma $- 192$ e $160$ .

$- 32 - 768 - 13$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $768$ da $- 32$ .

$- 800 - 13$

Passaggio 5.2.3

Sottrai $13$ da $- 800$ .

$- 813$