Calcolo Esempi

$y = \frac{2 x - 3}{3 x + 5}$ , $x = 3$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x - 3$ e $g (x) = 3 x + 5$ .

$\frac{(3 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 3] - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(3 x + 5) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 + 0) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{(3 x + 5) \cdot 2 - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 2.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $3 x + 5$ .

$\frac{2 \cdot (3 x + 5) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{2 (3 x + 5) - (2 x - 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (3 x + 5) - (2 x - 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (3 x + 5) - (2 x - 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{2 (3 x + 5) - (2 x - 3) (3 + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (3 x + 5) - (2 x - 3) (3 + 0)}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 2.12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.12.1

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{2 (3 x + 5) - (2 x - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 2.12.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{2 (3 x + 5) - 3 (2 x - 3)}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (3 x) + 2 \cdot 5 - 3 (2 x - 3)}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (3 x) + 2 \cdot 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6 x + 2 \cdot 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{6 x + 10 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$\frac{6 x + 10 - 6 x - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$\frac{6 x + 10 - 6 x + 9}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Combina i termini opposti in $6 x + 10 - 6 x + 9$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $6 x$ da $6 x$ .

$\frac{0 + 10 + 9}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $0$ e $10$ .

$\frac{10 + 9}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Somma $10$ e $9$ .

$\frac{19}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Passaggio 4

Calcola la derivata per $x = 3$ .

$\frac{19}{{(3 (3) + 5)}^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{19}{{(9 + 5)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Somma $9$ e $5$ .

$\frac{19}{14^{2}}$

Passaggio 5.3

Eleva $14$ alla potenza di $2$ .

$\frac{19}{196}$