Calcolo Esempi

$y = \sqrt{3 + 5 x}$ , $x = 0$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3 + 5 x}$ come ${(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 3 + 5 x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 + 5 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 + 5 x$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(3 + 5 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 5 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(3 + 5 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

Passaggio 7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(3 + 5 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

Passaggio 7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(3 + 5 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3 + 5 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

Passaggio 7.3

Sposta ${(3 + 5 x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 + 5 x]$

Passaggio 8

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 + 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 9

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 10

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 11

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 12

$5$ e $\frac{1}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{5}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 14

Moltiplica $\frac{5}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{5}{2 {(3 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 15

Calcola la derivata per $x = 0$ .

$\frac{5}{2 {(3 + 5 (0))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 16.1

Moltiplica $5$ per $0$ .

$\frac{5}{2 {(3 + 0)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.2

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{5}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}$