Calcolo Esempi

$y = 8 \sin (x) \cos (x)$ , $x = \frac{π}{3}$

Passaggio 1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 \sin (x) \cos (x)$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$8 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$8 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 4

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 5

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 7

Somma $1$ e $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 8

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Passaggio 9

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Passaggio 10

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Passaggio 11

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Passaggio 12

Somma $1$ e $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Applica la proprietà distributiva.

$8 (- \sin^{2} (x)) + 8 \cos^{2} (x)$

Passaggio 13.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 8 \sin^{2} (x) + 8 \cos^{2} (x)$

Passaggio 14

Calcola la derivata per $x = \frac{π}{3}$ .

$- 8 \sin^{2} (\frac{π}{3}) + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 15.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 8 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 15.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 8 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 15.1.3

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 15.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 8 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 15.1.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 15.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 8 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 15.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 15.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$- 8 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 15.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- 8 \frac{3^{1}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 15.1.3.5

Calcola l'esponente.

$- 8 \frac{3}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 15.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 8 (\frac{3}{4}) + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 15.1.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 15.1.5.1

Scomponi $4$ da $- 8$ .

$4 (- 2) \frac{3}{4} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 15.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot - 2 \frac{3}{4} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 15.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 \cdot 3 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 15.1.6

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$- 6 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Passaggio 15.1.7

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$- 6 + 8 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 15.1.8

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$- 6 + 8 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 15.1.9

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 6 + 8 \frac{1}{2^{2}}$

Passaggio 15.1.10

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 6 + 8 (\frac{1}{4})$

Passaggio 15.1.11

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 15.1.11.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$- 6 + 4 (2) \frac{1}{4}$

Passaggio 15.1.11.2

Elimina il fattore comune.

$- 6 + 4 \cdot 2 \frac{1}{4}$

Passaggio 15.1.11.3

Riscrivi l'espressione.

$- 6 + 2$

Passaggio 15.2

Somma $- 6$ e $2$ .

$- 4$