Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x^{\frac{2}{3}}$ , $[- 1, 1]$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Passaggio 1.1.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 1.1.1.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.1.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.1.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Passaggio 1.1.1.6.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Passaggio 1.1.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Passaggio 1.1.1.8

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$4 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 1.1.1.9

$4$ e $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{4 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Passaggio 1.1.1.10

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.10.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{8 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 1.1.1.10.2

Sposta $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{8}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{8}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{8}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{8}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$8 = 0$

Passaggio 1.2.3

Poiché $8 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{8}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Passaggio 1.3.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{8}{3 \sqrt[3]{x}}$

Passaggio 1.3.2

Imposta il denominatore in $\frac{8}{3 \sqrt[3]{x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 1.3.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 1.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1

Semplifica ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.4

Semplifica.

$27 x = 0^{3}$

Passaggio 1.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$27 x = 0$

Passaggio 1.3.3.3

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.1

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x = 0$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Passaggio 1.3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Passaggio 1.3.3.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Passaggio 1.3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.3.3.1

Dividi $0$ per $27$ .

$x = 0$

Passaggio 1.4

Risolvi $4 x^{\frac{2}{3}}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$4 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$4 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 1.4.1.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 \cdot 0^{2}$

Passaggio 1.4.1.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 \cdot 0$

Passaggio 1.4.1.2.3.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$0$

Passaggio 1.4.2

Elenca tutti i punti.

$(0, 0)$

Passaggio 2

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola per $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci $- 1$ a $x$ .

$4 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$4 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 2.1.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 2.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$4 \cdot 1$

Passaggio 2.1.2.3.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$

Passaggio 2.2

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$4 {(1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 \cdot 1$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$

Passaggio 2.3

Elenca tutti i punti.

$(- 1, 4), (1, 4)$

Passaggio 3

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(- 1, 4), (1, 4)$

Minimo assoluto: $(0, 0)$

Passaggio 4