Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} + 2 x - 1$ , $[0, 1]$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 2 + 0$

Passaggio 1.1.1.3.2

Somma $2 x + 2$ e $0$ .

$f' (x) = 2 x + 2$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x + 2$ .

$2 x + 2$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 x + 2 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 x + 2 = 0$

Passaggio 1.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 2$

Passaggio 1.2.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 2$ e semplifica.

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Passaggio 1.2.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2}{2}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{2}$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.3.3.1

Dividi $- 2$ per $2$ .

$x = - 1$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $x^{2} + 2 x - 1$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $- 1$ a $x$ .

${(- 1)}^{2} + 2 (- 1) - 1$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 + 2 (- 1) - 1$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$1 - 2 - 1$

Passaggio 1.4.1.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Sottrai $2$ da $1$ .

$- 1 - 1$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$- 2$

Passaggio 1.4.2

Elenca tutti i punti.

$(- 1, - 2)$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

Passaggio 3

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

${(0)}^{2} + 2 (0) - 1$

Passaggio 3.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 2 (0) - 1$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$0 + 0 - 1$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 - 1$

Passaggio 3.1.2.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$- 1$

Passaggio 3.2

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

${(1)}^{2} + 2 (1) - 1$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 2 (1) - 1$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$1 + 2 - 1$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Somma $1$ e $2$ .

$3 - 1$

Passaggio 3.2.2.2.2

Sottrai $1$ da $3$ .

$2$

Passaggio 3.3

Elenca tutti i punti.

$(0, - 1), (1, 2)$

Passaggio 4

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(1, 2)$

Minimo assoluto: $(0, - 1)$

Passaggio 5