Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - x + 1}$ , $[0, 3]$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - x + 1$ .

$\frac{(x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.2

Moltiplica $x^{2} - x + 1$ per $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 + 0)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.9

Somma $2 x - 1$ e $0$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.4

Moltiplica $- x \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + 1 x}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.4.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + x}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2

Combina i termini opposti in $x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.2.1

Somma $- x$ e $x$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2} + 0}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.2

Somma $x^{2} + 1 - 2 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.3

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.3.2

Riordina $- x^{2}$ e $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - x^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$f' (x) = \frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}} = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$(1 + x) (1 - x) = 0$

Passaggio 1.2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 1.2.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Imposta $1 + x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Imposta $1 + x$ uguale a $0$ .

$1 + x = 0$

Passaggio 1.2.3.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 1.2.3.3

Imposta $1 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Imposta $1 - x$ uguale a $0$ .

$1 - x = 0$

Passaggio 1.2.3.3.2

Risolvi $1 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 1$

Passaggio 1.2.3.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.3.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.3.3.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.3.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x = 1$

Passaggio 1.2.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(1 + x) (1 - x) = 0$ vera.

$x = - 1, 1$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $\frac{x}{x^{2} - x + 1}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $- 1$ a $x$ .

$\frac{- 1}{{(- 1)}^{2} - (- 1) + 1}$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 1}{1 - (- 1) + 1}$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- 1}{1 + 1 + 1}$

Passaggio 1.4.1.2.1.3

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 1}{2 + 1}$

Passaggio 1.4.1.2.1.4

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{- 1}{3}$

Passaggio 1.4.1.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{3}$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$\frac{1}{{(1)}^{2} - (1) + 1}$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{1 - (1) + 1}$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{1 - 1 + 1}$

Passaggio 1.4.2.2.1.3

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

Passaggio 1.4.2.2.1.4

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1}{1}$

Passaggio 1.4.2.2.2

Dividi $1$ per $1$ .

$1$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(- 1, - \frac{1}{3}), (1, 1)$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

$(1, 1)$

Passaggio 3

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\frac{0}{{(0)}^{2} - (0) + 1}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0 - (0) + 1}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + 1}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0 + 1}$

Passaggio 3.1.2.1.4

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{0}{1}$

Passaggio 3.1.2.2

Dividi $0$ per $1$ .

$0$

Passaggio 3.2

Calcola per $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci $3$ a $x$ .

$\frac{3}{{(3)}^{2} - (3) + 1}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{3}{9 - (3) + 1}$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{3}{9 - 3 + 1}$

Passaggio 3.2.2.3

Sottrai $3$ da $9$ .

$\frac{3}{6 + 1}$

Passaggio 3.2.2.4

Somma $6$ e $1$ .

$\frac{3}{7}$

Passaggio 3.3

Elenca tutti i punti.

$(0, 0), (3, \frac{3}{7})$

Passaggio 4

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(1, 1)$

Minimo assoluto: $(0, 0)$

Passaggio 5