Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} - 2 x + 6$ , $(0, 3)$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$2 x - 2 + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x - 2 + 0$

Passaggio 1.1.1.3.2

Somma $2 x - 2$ e $0$ .

$f' (x) = 2 x - 2$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x - 2$ .

$2 x - 2$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 x - 2 = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Passaggio 1.2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 2$

Passaggio 1.2.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 2$ e semplifica.

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Passaggio 1.2.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.3.3.1

Dividi $2$ per $2$ .

$x = 1$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $x^{2} - 2 x + 6$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 1$ .

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Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

${(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 6$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.4.1.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - 2 \cdot 1 + 6$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$1 - 2 + 6$

Passaggio 1.4.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 1.4.1.2.2.1

Sottrai $2$ da $1$ .

$- 1 + 6$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Somma $- 1$ e $6$ .

$5$

Passaggio 1.4.2

Elenca tutti i punti.

$(1, 5)$

Passaggio 2

Usa il test della derivata prima per determinare quale punto può essere il massimo o il minimo.

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Passaggio 2.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 2.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- \infty, 1)$ nella derivata prima $2 x - 2$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

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Passaggio 2.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = 2 (0) - 2$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f' (0) = 0 - 2$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $2$ da $0$ .

$f' (0) = - 2$

Passaggio 2.2.2.3

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 2.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata prima $2 x - 2$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

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Passaggio 2.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = 2 (4) - 2$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.3.2.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f' (4) = 8 - 2$

Passaggio 2.3.2.2

Sottrai $2$ da $8$ .

$f' (4) = 6$

Passaggio 2.3.2.3

La risposta finale è $6$ .

$6$

Passaggio 2.4

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 1$ , allora $x = 1$ è un minimo locale.

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 3

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Nessun massimo assoluto

Minimo assoluto: $(1, 5)$

Passaggio 4