Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x + 7$ , $(- 3, 6)$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Poiché $- 36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 36 x$ rispetto a $x$ è $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 6 x - 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.1.4.3

Moltiplica $- 36$ per $1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 36 + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.1.5.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 x^{2} + 6 x - 36 + 0$

Passaggio 1.1.1.5.2

Somma $6 x^{2} + 6 x - 36$ e $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 36$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x^{2} + 6 x - 36$ .

$6 x^{2} + 6 x - 36$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 x^{2} + 6 x - 36 = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$6 x^{2} + 6 x - 36 = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $6$ da $6 x^{2} + 6 x - 36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Scomponi $6$ da $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) + 6 x - 36 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.2

Scomponi $6$ da $6 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 36 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.3

Scomponi $6$ da $- 36$ .

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 6 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.4

Scomponi $6$ da $6 (x^{2}) + 6 x$ .

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 6 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.5

Scomponi $6$ da $6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 6$ .

$6 (x^{2} + x - 6) = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi.

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Passaggio 1.2.2.2.1

Scomponi $x^{2} + x - 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 6$ e la cui somma è $1$ .

$- 2, 3$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$6 ((x - 2) (x + 3)) = 0$

Passaggio 1.2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$6 (x - 2) (x + 3) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.4.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 (x - 2) (x + 3) = 0$ vera.

$x = 2, - 3$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $2 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x + 7$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 2$ .

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Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

$2 {(2)}^{3} + 3 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 7$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1

Moltiplica $2$ per ${(2)}^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1.1

Moltiplica $2$ per ${(2)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$2^{1} {(2)}^{3} + 3 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 7$

Passaggio 1.4.1.2.1.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2^{1 + 3} + 3 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 7$

Passaggio 1.4.1.2.1.1.2

Somma $1$ e $3$ .

$2^{4} + 3 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 7$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$16 + 3 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 7$

Passaggio 1.4.1.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$16 + 3 \cdot 4 - 36 \cdot 2 + 7$

Passaggio 1.4.1.2.1.4

Moltiplica $3$ per $4$ .

$16 + 12 - 36 \cdot 2 + 7$

Passaggio 1.4.1.2.1.5

Moltiplica $- 36$ per $2$ .

$16 + 12 - 72 + 7$

Passaggio 1.4.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Somma $16$ e $12$ .

$28 - 72 + 7$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Sottrai $72$ da $28$ .

$- 44 + 7$

Passaggio 1.4.1.2.2.3

Somma $- 44$ e $7$ .

$- 37$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $- 3$ a $x$ .

$2 {(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2} - 36 \cdot - 3 + 7$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot - 27 + 3 {(- 3)}^{2} - 36 \cdot - 3 + 7$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $- 27$ .

$- 54 + 3 {(- 3)}^{2} - 36 \cdot - 3 + 7$

Passaggio 1.4.2.2.1.3

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$- 54 + 3 \cdot 9 - 36 \cdot - 3 + 7$

Passaggio 1.4.2.2.1.4

Moltiplica $3$ per $9$ .

$- 54 + 27 - 36 \cdot - 3 + 7$

Passaggio 1.4.2.2.1.5

Moltiplica $- 36$ per $- 3$ .

$- 54 + 27 + 108 + 7$

Passaggio 1.4.2.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.2.1

Somma $- 54$ e $27$ .

$- 27 + 108 + 7$

Passaggio 1.4.2.2.2.2

Somma $- 27$ e $108$ .

$81 + 7$

Passaggio 1.4.2.2.2.3

Somma $81$ e $7$ .

$88$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(2, - 37), (- 3, 88)$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

$(2, - 37)$

Passaggio 3

Usa il test della derivata prima per determinare quale punto può essere il massimo o il minimo.

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Passaggio 3.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 3.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 6$ , dell'intervallo $(- \infty, - 3)$ nella derivata prima $6 x^{2} + 6 x - 36$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 6$ nell'espressione.

$f' (- 6) = 6 {(- 6)}^{2} + 6 (- 6) - 36$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 6) = 6 \cdot 36 + 6 (- 6) - 36$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $6$ per $36$ .

$f' (- 6) = 216 + 6 (- 6) - 36$

Passaggio 3.2.2.1.3

Moltiplica $6$ per $- 6$ .

$f' (- 6) = 216 - 36 - 36$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Sottrai $36$ da $216$ .

$f' (- 6) = 180 - 36$

Passaggio 3.2.2.2.2

Sottrai $36$ da $180$ .

$f' (- 6) = 144$

Passaggio 3.2.2.3

La risposta finale è $144$ .

$144$

Passaggio 3.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- 3, 2)$ nella derivata prima $6 x^{2} + 6 x - 36$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

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Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = 6 {(0)}^{2} + 6 (0) - 36$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 6 \cdot 0 + 6 (0) - 36$

Passaggio 3.3.2.1.2

Moltiplica $6$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 6 (0) - 36$

Passaggio 3.3.2.1.3

Moltiplica $6$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 36$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 - 36$

Passaggio 3.3.2.2.2

Sottrai $36$ da $0$ .

$f' (0) = - 36$

Passaggio 3.3.2.3

La risposta finale è $- 36$ .

$- 36$

Passaggio 3.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata prima $6 x^{2} + 6 x - 36$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = 6 {(4)}^{2} + 6 (4) - 36$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f' (4) = 6 \cdot 16 + 6 (4) - 36$

Passaggio 3.4.2.1.2

Moltiplica $6$ per $16$ .

$f' (4) = 96 + 6 (4) - 36$

Passaggio 3.4.2.1.3

Moltiplica $6$ per $4$ .

$f' (4) = 96 + 24 - 36$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Somma $96$ e $24$ .

$f' (4) = 120 - 36$

Passaggio 3.4.2.2.2

Sottrai $36$ da $120$ .

$f' (4) = 84$

Passaggio 3.4.2.3

La risposta finale è $84$ .

$84$

Passaggio 3.5

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = - 3$ , allora $x = - 3$ è un massimo locale.

$x = - 3$ è un massimo locale

Passaggio 3.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 2$ , allora $x = 2$ è un minimo locale.

$x = 2$ è un minimo locale

Passaggio 3.7

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x + 7$ .

$x = - 3$ è un massimo locale

$x = 2$ è un minimo locale

$x = - 3$ è un massimo locale

$x = 2$ è un minimo locale

Passaggio 4

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Nessun massimo assoluto

Minimo assoluto: $(2, - 37)$

Passaggio 5