Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{9}{x - 1}$ , $[1, 4]$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1.1.1.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{9}{x - 1}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 1}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 1}]$

Passaggio 1.1.1.1.2

Riscrivi $\frac{1}{x - 1}$ come ${(x - 1)}^{- 1}$ .

$9 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 1}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x - 1$ .

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Passaggio 1.1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 1$ .

$9 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$9 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 1.1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$9 (- {(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$- 9 ({(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 1.1.1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 9 {(x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 9 {(x - 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.1.1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 9 {(x - 1)}^{- 2} (1 + 0)$

Passaggio 1.1.1.3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.1.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$- 9 {(x - 1)}^{- 2} \cdot 1$

Passaggio 1.1.1.3.5.2

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$- 9 {(x - 1)}^{- 2}$

Passaggio 1.1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.1.1.4.2.1

$- 9$ e $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 9}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{9}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{9}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{9}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{9}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{9}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$9 = 0$

Passaggio 1.2.3

Poiché $9 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 1.3.1

Imposta il denominatore in $\frac{9}{{(x - 1)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 1.3.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Poni $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 1.3.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 1.4

Risolvi $\frac{9}{x - 1}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 1$ .

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Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$\frac{9}{(1) - 1}$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{9}{0}$

Passaggio 1.4.1.2.2

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 1.5

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 2

Calcola agli estremi inclusi.

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Passaggio 2.1

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$\frac{9}{(1) - 1}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{9}{0}$

Passaggio 2.1.2.2

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 2.2

Calcola per $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci $4$ a $x$ .

$\frac{9}{(4) - 1}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sottrai $1$ da $4$ .

$\frac{9}{3}$

Passaggio 2.2.2.2

Dividi $9$ per $3$ .

$3$

Passaggio 2.3

Elenca tutti i punti.

$(4, 3)$

Passaggio 3

Poiché non c'è alcun valore di $x$ che rende la derivata prima uguale a $0$ , non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 4

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Nessun massimo assoluto

Minimo assoluto: $(4, 3)$

Passaggio 5