Calcolo Esempi

$f (x) = x + \frac{1}{x}$ , $[1, 5]$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 1.1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$1 - x^{- 2}$

Passaggio 1.1.1.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Passaggio 1.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$

Passaggio 1.2.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{2}, 1$

Passaggio 1.2.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{2}$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica per $x^{2}$ ciascun termine in $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ per $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = - x^{2}$

Passaggio 1.2.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Riscrivi l'equazione come $- x^{2} = - 1$ .

$- x^{2} = - 1$

Passaggio 1.2.5.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.5.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Passaggio 1.2.5.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 1.2.5.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 1.2.5.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 1.2.5.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 1.2.5.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 1.3.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 1.3.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 1.3.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.4

Risolvi $x + \frac{1}{x}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$(1) + \frac{1}{1}$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Dividi $1$ per $1$ .

$1 + 1$

Passaggio 1.4.1.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$2$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $- 1$ a $x$ .

$(- 1) + \frac{1}{- 1}$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$- 1 - 1$

Passaggio 1.4.2.2.2

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$- 2$

Passaggio 1.4.3

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$(0) + \frac{1}{0}$

Passaggio 1.4.3.2

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 1.4.4

Elenca tutti i punti.

$(1, 2), (- 1, - 2)$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

$(1, 2)$

Passaggio 3

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$(1) + \frac{1}{1}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividi $1$ per $1$ .

$1 + 1$

Passaggio 3.1.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$2$

Passaggio 3.2

Calcola per $x = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci $5$ a $x$ .

$(5) + \frac{1}{5}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$5 \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5}$

Passaggio 3.2.2.2

$5$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 5}{5} + \frac{1}{5}$

Passaggio 3.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5 \cdot 5 + 1}{5}$

Passaggio 3.2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.4.1

Moltiplica $5$ per $5$ .

$\frac{25 + 1}{5}$

Passaggio 3.2.2.4.2

Somma $25$ e $1$ .

$\frac{26}{5}$

Passaggio 3.3

Elenca tutti i punti.

$(1, 2), (5, \frac{26}{5})$

Passaggio 4

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(5, \frac{26}{5})$

Minimo assoluto: $(1, 2)$

Passaggio 5