Calcolo Esempi

$f (x) = 18 x^{2} - \frac{3}{2} x^{3}$ , $[0, 12]$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $18 x^{2} - \frac{3}{2} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $18 x^{2}$ rispetto a $x$ è $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$18 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $18$ .

$36 x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

Passaggio 1.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $- \frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3}{2} x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$36 x - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$36 x - \frac{3}{2} (3 x^{2})$

Passaggio 1.1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$36 x - 3 (\frac{3}{2}) x^{2}$

Passaggio 1.1.1.3.4

$- 3$ e $\frac{3}{2}$ .

$36 x + \frac{- 3 \cdot 3}{2} x^{2}$

Passaggio 1.1.1.3.5

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$36 x + \frac{- 9}{2} x^{2}$

Passaggio 1.1.1.3.6

$\frac{- 9}{2}$ e $x^{2}$ .

$36 x + \frac{- 9 x^{2}}{2}$

Passaggio 1.1.1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$36 x - \frac{9 x^{2}}{2}$

Passaggio 1.1.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = - \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x = 0$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica per $2$ ciascun termine in $- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x = 0$ per $2$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} \cdot 2 + 36 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{9 x^{2}}{2}$ nel numeratore.

$\frac{- 9 x^{2}}{2} \cdot 2 + 36 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Passaggio 1.2.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 9 x^{2}}{2} \cdot 2 + 36 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Passaggio 1.2.2.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 9 x^{2} + 36 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $36$ .

$- 9 x^{2} + 72 x = 0 \cdot 2$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Moltiplica $0$ per $2$ .

$- 9 x^{2} + 72 x = 0$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $- 9 x$ da $- 9 x^{2} + 72 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Scomponi $- 9 x$ da $- 9 x^{2}$ .

$- 9 x \cdot x + 72 x = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Scomponi $- 9 x$ da $72 x$ .

$- 9 x \cdot x - 9 x \cdot - 8 = 0$

Passaggio 1.2.3.3

Scomponi $- 9 x$ da $- 9 x (x) - 9 x (- 8)$ .

$- 9 x (x - 8) = 0$

Passaggio 1.2.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 8 = 0$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.6

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ .

$x - 8 = 0$

Passaggio 1.2.6.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 8$

Passaggio 1.2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 9 x (x - 8) = 0$ vera.

$x = 0, 8$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $18 x^{2} - \frac{3}{2} x^{3}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$18 {(0)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$18 \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Moltiplica $18$ per $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Passaggio 1.4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot 0$

Passaggio 1.4.1.2.1.4

Moltiplica $- \frac{3}{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$0 + 0 (\frac{3}{2})$

Passaggio 1.4.1.2.1.4.2

Moltiplica $0$ per $\frac{3}{2}$ .

$0 + 0$

Passaggio 1.4.1.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $8$ a $x$ .

$18 {(8)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(8)}^{3}$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$18 \cdot 64 - \frac{3}{2} \cdot {(8)}^{3}$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Moltiplica $18$ per $64$ .

$1152 - \frac{3}{2} \cdot {(8)}^{3}$

Passaggio 1.4.2.2.1.3

Eleva $8$ alla potenza di $3$ .

$1152 - \frac{3}{2} \cdot 512$

Passaggio 1.4.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{2}$ nel numeratore.

$1152 + \frac{- 3}{2} \cdot 512$

Passaggio 1.4.2.2.1.4.2

Scomponi $2$ da $512$ .

$1152 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (256))$

Passaggio 1.4.2.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$1152 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 256)$

Passaggio 1.4.2.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$1152 - 3 \cdot 256$

Passaggio 1.4.2.2.1.5

Moltiplica $- 3$ per $256$ .

$1152 - 768$

Passaggio 1.4.2.2.2

Sottrai $768$ da $1152$ .

$384$

Passaggio 1.4.3

Elenca tutti i punti.

$(0, 0), (8, 384)$

Passaggio 2

Calcola agli estremi inclusi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$18 {(0)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$18 \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Moltiplica $18$ per $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Passaggio 2.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot 0$

Passaggio 2.1.2.1.4

Moltiplica $- \frac{3}{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$0 + 0 (\frac{3}{2})$

Passaggio 2.1.2.1.4.2

Moltiplica $0$ per $\frac{3}{2}$ .

$0 + 0$

Passaggio 2.1.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 2.2

Calcola per $x = 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci $12$ a $x$ .

$18 {(12)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(12)}^{3}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$18 \cdot 144 - \frac{3}{2} \cdot {(12)}^{3}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Moltiplica $18$ per $144$ .

$2592 - \frac{3}{2} \cdot {(12)}^{3}$

Passaggio 2.2.2.1.3

Eleva $12$ alla potenza di $3$ .

$2592 - \frac{3}{2} \cdot 1728$

Passaggio 2.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{2}$ nel numeratore.

$2592 + \frac{- 3}{2} \cdot 1728$

Passaggio 2.2.2.1.4.2

Scomponi $2$ da $1728$ .

$2592 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (864))$

Passaggio 2.2.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$2592 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 864)$

Passaggio 2.2.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$2592 - 3 \cdot 864$

Passaggio 2.2.2.1.5

Moltiplica $- 3$ per $864$ .

$2592 - 2592$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $2592$ da $2592$ .

$0$

Passaggio 2.3

Elenca tutti i punti.

$(0, 0), (12, 0)$

Passaggio 3

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(8, 384)$

Minimo assoluto: $(0, 0), (12, 0)$

Passaggio 4