Calcolo Esempi

$g (x) = 2 x^{2} - x - 1$ , $[3, 5]$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} - x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x - 1 + 0$

Passaggio 1.1.1.4.2

Somma $4 x - 1$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x - 1$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $g (x)$ rispetto a $x$ è $4 x - 1$ .

$4 x - 1$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x - 1 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = 1$

Passaggio 1.2.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 1$ e semplifica.

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Passaggio 1.2.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 1$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $2 x^{2} - x - 1$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $\frac{1}{4}$ a $x$ .

$2 {(\frac{1}{4})}^{2} - (\frac{1}{4}) - 1$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$2 \frac{1^{2}}{4^{2}} - (\frac{1}{4}) - 1$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 \frac{1}{4^{2}} - (\frac{1}{4}) - 1$

Passaggio 1.4.1.2.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$2 (\frac{1}{16}) - (\frac{1}{4}) - 1$

Passaggio 1.4.1.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$2 \frac{1}{2 (8)} - (\frac{1}{4}) - 1$

Passaggio 1.4.1.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{1}{2 \cdot 8} - (\frac{1}{4}) - 1$

Passaggio 1.4.1.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{8} - (\frac{1}{4}) - 1$

$\frac{1}{8} - \frac{1}{4} - 1$

Passaggio 1.4.1.2.2

Trova il comune denominatore.

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Passaggio 1.4.1.2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{8} - (\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 1$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{2}{4 \cdot 2} - 1$

Passaggio 1.4.1.2.2.3

Scrivi $- 1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{1}{8} - \frac{2}{4 \cdot 2} + \frac{- 1}{1}$

Passaggio 1.4.1.2.2.4

Moltiplica $\frac{- 1}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{2}{4 \cdot 2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Passaggio 1.4.1.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 1}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{2}{4 \cdot 2} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}$

Passaggio 1.4.1.2.2.6

Riordina i fattori di $4 \cdot 2$ .

$\frac{1}{8} - \frac{2}{2 \cdot 4} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}$

Passaggio 1.4.1.2.2.7

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{1}{8} - \frac{2}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}$

Passaggio 1.4.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - 2 - 1 \cdot 8}{8}$

Passaggio 1.4.1.2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.4.1.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{1 - 2 - 8}{8}$

Passaggio 1.4.1.2.4.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{- 1 - 8}{8}$

Passaggio 1.4.1.2.4.3

Sottrai $8$ da $- 1$ .

$\frac{- 9}{8}$

Passaggio 1.4.1.2.4.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{9}{8}$

Passaggio 1.4.2

Elenca tutti i punti.

$(\frac{1}{4}, - \frac{9}{8})$

Passaggio 2

Escludi i punti che non si trovano sull'intervallo.

Passaggio 3

Calcola agli estremi inclusi.

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Passaggio 3.1

Calcola per $x = 3$ .

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Passaggio 3.1.1

Sostituisci $3$ a $x$ .

$2 {(3)}^{2} - (3) - 1$

Passaggio 3.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$2 \cdot 9 - (3) - 1$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $9$ .

$18 - (3) - 1$

Passaggio 3.1.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$18 - 3 - 1$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

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Passaggio 3.1.2.2.1

Sottrai $3$ da $18$ .

$15 - 1$

Passaggio 3.1.2.2.2

Sottrai $1$ da $15$ .

$14$

Passaggio 3.2

Calcola per $x = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci $5$ a $x$ .

$2 {(5)}^{2} - (5) - 1$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$2 \cdot 25 - (5) - 1$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $25$ .

$50 - (5) - 1$

Passaggio 3.2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$50 - 5 - 1$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

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Passaggio 3.2.2.2.1

Sottrai $5$ da $50$ .

$45 - 1$

Passaggio 3.2.2.2.2

Sottrai $1$ da $45$ .

$44$

Passaggio 3.3

Elenca tutti i punti.

$(3, 14), (5, 44)$

Passaggio 4

Confronta i valori $g (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $g (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $g (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(5, 44)$

Minimo assoluto: $(3, 14)$

Passaggio 5