Calcolo Esempi

$f (x) = x + e^{- 4 x}$ , $[- 2, 3]$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + e^{- 4 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Passaggio 1.1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

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Passaggio 1.1.1.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 4 x$ .

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Passaggio 1.1.1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 4 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 1.1.1.2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$1 + e^{u} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 1.1.1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 4 x$ .

$1 + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \cdot 1)$

Passaggio 1.1.1.2.4

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$1 + e^{- 4 x} \cdot - 4$

Passaggio 1.1.1.2.5

Sposta $- 4$ alla sinistra di $e^{- 4 x}$ .

$f' (x) = 1 - 4 e^{- 4 x}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $1 - 4 e^{- 4 x}$ .

$1 - 4 e^{- 4 x}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $1 - 4 e^{- 4 x} = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$1 - 4 e^{- 4 x} = 0$

Passaggio 1.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 e^{- 4 x} = - 1$

Passaggio 1.2.3

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 e^{- 4 x} = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 1.2.3.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 e^{- 4 x} = - 1$ .

$\frac{- 4 e^{- 4 x}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 e^{- 4 x}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Dividi $e^{- 4 x}$ per $1$ .

$e^{- 4 x} = \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$e^{- 4 x} = \frac{1}{4}$

Passaggio 1.2.4

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- 4 x}) = \ln (\frac{1}{4})$

Passaggio 1.2.5

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.5.1

Espandi $\ln (e^{- 4 x})$ spostando $- 4 x$ fuori dal logaritmo.

$- 4 x \ln (e) = \ln (\frac{1}{4})$

Passaggio 1.2.5.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$- 4 x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{4})$

Passaggio 1.2.5.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$

Passaggio 1.2.6

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$ e semplifica.

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Passaggio 1.2.6.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Passaggio 1.2.6.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.6.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Passaggio 1.2.6.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Passaggio 1.2.6.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.6.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 1.3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 1.4

Risolvi $x + e^{- 4 x}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ .

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Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ a $x$ .

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.4.1.2.1

Riscrivi $\frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ come $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ .

$- (\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Passaggio 1.4.1.2.2

Semplifica $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ spostando $\frac{1}{4}$ all'interno del logaritmo.

$- \ln ({(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{4}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Passaggio 1.4.1.2.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$- \ln (\frac{1^{\frac{1}{4}}}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Passaggio 1.4.1.2.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Passaggio 1.4.1.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 1.4.1.2.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ nel numeratore.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Passaggio 1.4.1.2.5.2

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{4 (- 1) \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Passaggio 1.4.1.2.5.3

Elimina il fattore comune.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{4 \cdot - 1 \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Passaggio 1.4.1.2.5.4

Riscrivi l'espressione.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 1 (- \ln (\frac{1}{4}))}$

Passaggio 1.4.1.2.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{1 \ln (\frac{1}{4})}$

Passaggio 1.4.1.2.7

Moltiplica $\ln (\frac{1}{4})$ per $1$ .

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{\ln (\frac{1}{4})}$

Passaggio 1.4.1.2.8

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}$

Passaggio 1.4.2

Elenca tutti i punti.

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}, - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4})$

Passaggio 2

Calcola agli estremi inclusi.

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Passaggio 2.1

Calcola per $x = - 2$ .

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Passaggio 2.1.1

Sostituisci $- 2$ a $x$ .

$(- 2) + e^{- 4 \cdot - 2}$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$- 2 + e^{8}$

Passaggio 2.2

Calcola per $x = 3$ .

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Passaggio 2.2.1

Sostituisci $3$ a $x$ .

$(3) + e^{- 4 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$3 + e^{- 12}$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{1}{e^{12}}$

Passaggio 2.3

Elenca tutti i punti.

$(- 2, - 2 + e^{8}), (3, 3 + \frac{1}{e^{12}})$

Passaggio 3

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(- 2, - 2 + e^{8})$

Minimo assoluto: $(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}, - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4})$

Passaggio 4