Calcolo Esempi

$x^{2} + y^{2} = 16 x$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (16 x)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x + 2 y y'$

Passaggio 2.3

Riordina i termini.

$2 y y' + 2 x$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$16 \cdot 1$

Passaggio 3.3

Moltiplica $16$ per $1$ .

$16$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 y y' + 2 x = 16$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y y' = 16 - 2 x$

Passaggio 5.2

Dividi per $2 y$ ciascun termine in $2 y y' = 16 - 2 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividi per $2 y$ ciascun termine in $2 y y' = 16 - 2 x$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{16}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{16}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y'}{y} = \frac{16}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y'}{y} = \frac{16}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{16}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $16$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$y' = \frac{2 \cdot 8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Passaggio 5.2.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 y$ .

$y' = \frac{2 \cdot 8}{2 (y)} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Passaggio 5.2.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 \cdot 8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Passaggio 5.2.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{8}{y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$y' = \frac{8}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Passaggio 5.2.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 y$ .

$y' = \frac{8}{y} + \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

Passaggio 5.2.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{8}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Passaggio 5.2.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{8}{y} + \frac{- x}{y}$

Passaggio 5.2.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{8}{y} - \frac{x}{y}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} - \frac{x}{y}$

Passaggio 7

Imposta $\frac{d y}{d x} = 0$ quindi risolvi per $x$ in termini di $y$ .

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Passaggio 7.1

Sottrai $\frac{8}{y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

Passaggio 7.2

Poiché l'espressione su ogni lato dell'equazione ha lo stesso denominatore, i numeratori devono essere uguali.

$- x = - 8$

Passaggio 7.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 8$ e semplifica.

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Passaggio 7.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 8$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 7.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 7.3.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 7.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.3.3.1

Dividi $- 8$ per $- 1$ .

$x = 8$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 8.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$64 + y^{2} = 16 (8)$

Passaggio 8.2

Moltiplica $16$ per $8$ .

$64 + y^{2} = 128$

Passaggio 8.3

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 8.3.1

Sottrai $64$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} = 128 - 64$

Passaggio 8.3.2

Sottrai $64$ da $128$ .

$y^{2} = 64$

Passaggio 8.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{64}$

Passaggio 8.5

Semplifica $\pm \sqrt{64}$ .

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Passaggio 8.5.1

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{8^{2}}$

Passaggio 8.5.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$y = \pm 8$

Passaggio 8.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 8.6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = 8$

Passaggio 8.6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - 8$

Passaggio 8.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = 8, - 8$

Passaggio 9

Trova i punti dove $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(8, 8)$

$(8, - 8)$

Passaggio 10