Calcolo Esempi

$y^{2} - 3 x y = 2$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - 3 x y) = \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} - 3 x y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 x y]$

Passaggio 2.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 x y]$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 x y]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 3 x y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x y]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x y$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 y y' - 3 \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 y y' - 3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 y y' - 3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 y y' - 3 (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$2 y y' - 3 (x y' + y)$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 y y' - 3 (x y') - 3 y$

Passaggio 2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 y y' - 3 x y' - 3 y$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 y y' - 3 x y' - 3 y = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Somma $3 y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 y y' - 3 x y' = 3 y$

Passaggio 5.2

Scomponi $y'$ da $2 y y' - 3 x y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $y'$ da $2 y y'$ .

$y' (2 y) - 3 x y' = 3 y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $y'$ da $- 3 x y'$ .

$y' (2 y) + y' (- 3 x) = 3 y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $y'$ da $y' (2 y) + y' (- 3 x)$ .

$y' (2 y - 3 x) = 3 y$

Passaggio 5.3

Dividi per $2 y - 3 x$ ciascun termine in $y' (2 y - 3 x) = 3 y$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $2 y - 3 x$ ciascun termine in $y' (2 y - 3 x) = 3 y$ .

$\frac{y' (2 y - 3 x)}{2 y - 3 x} = \frac{3 y}{2 y - 3 x}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2 y - 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (2 y - 3 x)}{2 y - 3 x} = \frac{3 y}{2 y - 3 x}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{3 y}{2 y - 3 x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{2 y - 3 x}$

Passaggio 7

Imposta $\frac{d y}{d x} = 0$ quindi risolvi per $x$ in termini di $y$ .

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Passaggio 7.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$3 y = 0$

Passaggio 7.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = 0$ e semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = 0$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 7.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{0}{3}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.2.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$y = 0$

Passaggio 7.3

La variabile $x$ è stata annullata.

Tutti i numeri reali

Passaggio 8

Trova i punti dove $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s), A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s))$

Passaggio 9