Calcolo Esempi

$y^{2} = x^{2} + y$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{2} + y)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 y y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x + y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 y y' = 2 x + y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sottrai $y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y y' - y' = 2 x$

Passaggio 5.2

Scomponi $y'$ da $2 y y' - y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $y'$ da $2 y y'$ .

$y' (2 y) - y' = 2 x$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $y'$ da $- y'$ .

$y' (2 y) + y' \cdot - 1 = 2 x$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $y'$ da $y' (2 y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 y - 1) = 2 x$

Passaggio 5.3

Dividi per $2 y - 1$ ciascun termine in $y' (2 y - 1) = 2 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $2 y - 1$ ciascun termine in $y' (2 y - 1) = 2 x$ .

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{2 x}{2 y - 1}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2 y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{2 x}{2 y - 1}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{2 x}{2 y - 1}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{2 y - 1}$

Passaggio 7

Imposta $\frac{d y}{d x} = 0$ quindi risolvi per $x$ in termini di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 x = 0$

Passaggio 7.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 7.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x = 0$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica $0^{2} + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y^{2} = 0 + y$

Passaggio 8.1.2

Somma $0$ e $y$ .

$y^{2} = y$

Passaggio 8.2

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - y = 0$

Passaggio 8.3

Scomponi $y$ da $y^{2} - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$y \cdot y - y = 0$

Passaggio 8.3.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$y \cdot y + y \cdot - 1 = 0$

Passaggio 8.3.3

Scomponi $y$ da $y \cdot y + y \cdot - 1$ .

$y (y - 1) = 0$

Passaggio 8.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$y = 0$

$y - 1 = 0$

Passaggio 8.5

Imposta $y$ uguale a $0$ .

$y = 0$

Passaggio 8.6

Imposta $y - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1

Imposta $y - 1$ uguale a $0$ .

$y - 1 = 0$

Passaggio 8.6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 1$

Passaggio 8.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $y (y - 1) = 0$ vera.

$y = 0, 1$

Passaggio 9

Trova i punti dove $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 0)$

$(0, 1)$

Passaggio 10