Calcolo Esempi

$x^{2} + x y + y^{2} = 27$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (27)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + x y + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + x y' + y + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 x + x y' + y + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x + x y' + y + 2 y y'$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y$

Passaggio 3

Poiché $27$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $27$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' + 2 y y' + y = - 2 x$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' + 2 y y' = - 2 x - y$

Passaggio 5.2

Scomponi $y'$ da $x y' + 2 y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $y'$ da $x y'$ .

$y' x + 2 y y' = - 2 x - y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $y'$ da $2 y y'$ .

$y' (x) + y' (2 y) = - 2 x - y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $y'$ da $y' (x) + y' (2 y)$ .

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$

Passaggio 5.3

Dividi per $x + 2 y$ ciascun termine in $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $x + 2 y$ ciascun termine in $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ .

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 2 y}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 2 y}$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 2 y}$

Passaggio 5.3.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 2 y}$

Passaggio 5.3.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1

Riscrivi $- (2 x + y)$ come $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 2 y}$

Passaggio 5.3.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Passaggio 7

Imposta $\frac{d y}{d x} = 0$ quindi risolvi per $x$ in termini di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 x + y = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - y$

Passaggio 7.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - y$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Passaggio 7.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Passaggio 7.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- y}{2}$

Passaggio 7.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{y}{2}$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica ${(- \frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{y}{2}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Passaggio 8.1.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{y}{2}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Passaggio 8.1.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Passaggio 8.1.1.3

Moltiplica $\frac{y^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$\frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Passaggio 8.1.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Passaggio 8.1.1.5

Moltiplica $(- \frac{y}{2}) y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1.5.1

$y$ e $\frac{y}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y \cdot y}{2} + y^{2} = 27$

Passaggio 8.1.1.5.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y}{2} + y^{2} = 27$

Passaggio 8.1.1.5.3

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y^{1}}{2} + y^{2} = 27$

Passaggio 8.1.1.5.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1 + 1}}{2} + y^{2} = 27$

Passaggio 8.1.1.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} + y^{2} = 27$

Passaggio 8.1.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1

Moltiplica $\frac{y^{2}}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - (\frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2}) + y^{2} = 27$

Passaggio 8.1.2.2

Moltiplica $\frac{y^{2}}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + y^{2} = 27$

Passaggio 8.1.2.3

Scrivi $y^{2}$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2}}{1} = 27$

Passaggio 8.1.2.4

Moltiplica $\frac{y^{2}}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2}}{1} \cdot \frac{4}{4} = 27$

Passaggio 8.1.2.5

Moltiplica $\frac{y^{2}}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

Passaggio 8.1.2.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{4} + \frac{y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

Passaggio 8.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{y^{2} - y^{2} \cdot 2 + y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

Passaggio 8.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} + y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

Passaggio 8.1.4.2

Sposta $4$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} + 4 y^{2}}{4} = 27$

Passaggio 8.1.5

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.5.1

Sottrai $2 y^{2}$ da $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} + 4 y^{2}}{4} = 27$

Passaggio 8.1.5.2

Somma $- y^{2}$ e $4 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2}}{4} = 27$

Passaggio 8.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 y^{2}}{4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Passaggio 8.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Semplifica $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 y^{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Combina.

$\frac{4 (3 y^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Passaggio 8.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (3 y^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Passaggio 8.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Passaggio 8.3.1.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Passaggio 8.3.1.1.3.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Semplifica $\frac{4}{3} \cdot 27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot (3 (9))$

Passaggio 8.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot (3 \cdot 9)$

Passaggio 8.3.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 4 \cdot 9$

Passaggio 8.3.2.1.2

Moltiplica $4$ per $9$ .

$y^{2} = 36$

Passaggio 8.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{36}$

Passaggio 8.5

Semplifica $\pm \sqrt{36}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{6^{2}}$

Passaggio 8.5.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$y = \pm 6$

Passaggio 8.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = 6$

Passaggio 8.6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - 6$

Passaggio 8.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = 6, - 6$

Passaggio 9

Solve for $x$ when $y$ is $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Rimuovi le parentesi.

$x = - \frac{6}{2}$

Passaggio 9.2

Semplifica $- \frac{6}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Dividi $6$ per $2$ .

$x = - 1 \cdot 3$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$x = - 3$

Passaggio 10

Semplifica $- \frac{- 6}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $- 6$ per $2$ .

$x = - - 3$

Passaggio 10.2

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$x = 3$

Passaggio 11

Trova i punti dove $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- 3, 6)$

$(3, - 6)$

Passaggio 12