Calcolo Esempi

$3 x y = \ln (x)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (3 x y) = \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x y$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 2.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$3 (x y' + y)$

Passaggio 2.6

Applica la proprietà distributiva.

$3 x y' + 3 y$

Passaggio 3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x y' + 3 y = \frac{1}{x}$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sottrai $3 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x y' = \frac{1}{x} - 3 y$

Passaggio 5.2

Dividi per $3 x$ ciascun termine in $3 x y' = \frac{1}{x} - 3 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividi per $3 x$ ciascun termine in $3 x y' = \frac{1}{x} - 3 y$ .

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x y'}{x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y'}{x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Moltiplica $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{1}{3 x}$ .

$y' = \frac{1}{x (3 x)} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Passaggio 5.2.3.1.2.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{1}{3 (x^{1} x)} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Passaggio 5.2.3.1.2.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{1}{3 (x^{1} x^{1})} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Passaggio 5.2.3.1.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = \frac{1}{3 x^{1 + 1}} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Passaggio 5.2.3.1.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Passaggio 5.2.3.1.3

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.3.1

Scomponi $3$ da $- 3 y$ .

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{3 (- y)}{3 x}$

Passaggio 5.2.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.3.2.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{3 (- y)}{3 (x)}$

Passaggio 5.2.3.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{3 (- y)}{3 x}$

Passaggio 5.2.3.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{- y}{x}$

Passaggio 5.2.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x}$

Passaggio 7

Imposta $\frac{d y}{d x} = 0$ quindi risolvi per $x$ in termini di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$3 x^{2}, x, 1$

Passaggio 7.1.2

Since $3 x^{2}, x, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{1}$ .

Passaggio 7.1.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 7.1.4

Poiché $3$ non presenta fattori eccetto $1$ e $3$ .

$3$ è un numero primo

Passaggio 7.1.5

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 7.1.6

Il minimo comune multiplo di $3, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$3$

Passaggio 7.1.7

I fattori di $x^{2}$ sono $x \cdot x$ , che corrisponde a $x$ moltiplicato per i fattori $2$ volte.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ si verifica $2$ volte.

Passaggio 7.1.8

Il fattore di $x^{1}$ è $x$ stesso.

$x^{1} = x$

$x$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 7.1.9

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{2}, x^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x \cdot x$

Passaggio 7.1.10

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2}$

Passaggio 7.1.11

Il minimo comune multiplo di $3 x^{2}, x, 1$ è la parte numerica $3$ moltiplicata per la parte variabile.

$3 x^{2}$

Passaggio 7.2

Moltiplica per $3 x^{2}$ ciascun termine in $\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x} = 0$ per $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{3 x^{2}} (3 x^{2}) - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 \frac{1}{3 x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Passaggio 7.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.2.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$3 \frac{1}{3 (x^{2})} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Passaggio 7.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{1}{3 x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Passaggio 7.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Passaggio 7.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Passaggio 7.2.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$1 - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Passaggio 7.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{y}{x}$ nel numeratore.

$1 + \frac{- y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Passaggio 7.2.2.1.4.2

Scomponi $x$ da $3 x^{2}$ .

$1 + \frac{- y}{x} (x (3 x)) = 0 (3 x^{2})$

Passaggio 7.2.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$1 + \frac{- y}{x} (x (3 x)) = 0 (3 x^{2})$

Passaggio 7.2.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$1 - y (3 x) = 0 (3 x^{2})$

Passaggio 7.2.2.1.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$1 - 3 y x = 0 (3 x^{2})$

Passaggio 7.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Moltiplica $0 (3 x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$1 - 3 y x = 0 x^{2}$

Passaggio 7.2.3.1.2

Moltiplica $0$ per $x^{2}$ .

$1 - 3 y x = 0$

Passaggio 7.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 y x = - 1$

Passaggio 7.3.2

Dividi per $- 3 y$ ciascun termine in $- 3 y x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Dividi per $- 3 y$ ciascun termine in $- 3 y x = - 1$ .

$\frac{- 3 y x}{- 3 y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

Passaggio 7.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 y x}{- 3 y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

Passaggio 7.3.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y x}{y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

Passaggio 7.3.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y x}{y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

Passaggio 7.3.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 3 y}$

Passaggio 7.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{1}{3 y}$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3 y}) \cdot y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Riscrivi.

$0 + 0 + 3 (\frac{1}{3 y}) \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Passaggio 8.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$3 (\frac{1}{3 y}) \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Passaggio 8.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.3.1

Scomponi $3$ da $3 y$ .

$3 \frac{1}{3 (y)} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Passaggio 8.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{1}{3 y} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Passaggio 8.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Passaggio 8.1.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Passaggio 8.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \ln (\frac{1}{3 y})$

Passaggio 8.2

Poiché $y$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$\ln (\frac{1}{3 y}) = 1$

Passaggio 8.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{1}{3 y})} = e^{1}$

Passaggio 8.4

Riscrivi $\ln (\frac{1}{3 y}) = 1$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{1} = \frac{1}{3 y}$

Passaggio 8.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{3 y} = e^{1}$ .

$\frac{1}{3 y} = e$

Passaggio 8.5.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$3 y, 1$

Passaggio 8.5.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$3 y$

Passaggio 8.5.3

Moltiplica per $3 y$ ciascun termine in $\frac{1}{3 y} = e$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{3 y} = e$ per $3 y$ .

$\frac{1}{3 y} (3 y) = e (3 y)$

Passaggio 8.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.3.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 \frac{1}{3 y} y = e (3 y)$

Passaggio 8.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $3 y$ .

$3 \frac{1}{3 (y)} y = e (3 y)$

Passaggio 8.5.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{1}{3 y} y = e (3 y)$

Passaggio 8.5.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} y = e (3 y)$

Passaggio 8.5.3.2.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} y = e (3 y)$

Passaggio 8.5.3.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = e (3 y)$

Passaggio 8.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.3.3.1

Sposta $3$ alla sinistra di $e$ .

$1 = 3 e y$

Passaggio 8.5.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.4.1

Riscrivi l'equazione come $3 e y = 1$ .

$3 e y = 1$

Passaggio 8.5.4.2

Dividi per $3 e$ ciascun termine in $3 e y = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.4.2.1

Dividi per $3 e$ ciascun termine in $3 e y = 1$ .

$\frac{3 e y}{3 e} = \frac{1}{3 e}$

Passaggio 8.5.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 e y}{3 e} = \frac{1}{3 e}$

Passaggio 8.5.4.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e y}{e} = \frac{1}{3 e}$

Passaggio 8.5.4.2.2.2

Elimina il fattore comune di $e$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e y}{e} = \frac{1}{3 e}$

Passaggio 8.5.4.2.2.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{1}{3 e}$

Passaggio 9

Solve for $x$ when $y$ is $\frac{1}{3 e}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $3$ per $\frac{1}{3 e}$ .

$x = \frac{1}{3 (\frac{1}{3 e})}$

Passaggio 9.2

Semplifica $\frac{1}{3 (\frac{1}{3 e})}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

$3$ e $\frac{1}{3 e}$ .

$x = \frac{1}{\frac{3}{3 e}}$

Passaggio 9.2.2

Riduci l'espressione $\frac{3}{3 e}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{1}{\frac{3}{3 e}}$

Passaggio 9.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{1}{\frac{1}{e}}$

Passaggio 9.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = 1 e$

Passaggio 9.2.4

Moltiplica $e$ per $1$ .

$x = e$

Passaggio 10

Trova i punti dove $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(e, \frac{1}{3 e})$

Passaggio 11