Calcolo Esempi

$x \ln (y) + y^{6} = 9 \ln (x)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x \ln (y) + y^{6}) = \frac{d}{d x} (9 \ln (x))$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x \ln (y) + y^{6}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y^{6}]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x \ln (y)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Passaggio 2.2.2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$x (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y$ .

$x (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Passaggio 2.2.5

$\frac{1}{y}$ e $y'$ .

$x \frac{y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Passaggio 2.2.6

$x$ e $\frac{y'}{y}$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $\ln (y)$ per $1$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{6}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{6}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 6 {u_{2}}^{5} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 6 y^{5} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 6 y^{5} y'$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$6 y^{5} y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y)$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$9 \frac{1}{x}$

Passaggio 3.3

$9$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{9}{x}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$6 y^{5} y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = \frac{9}{x}$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, y, 1, x$

Passaggio 5.1.2

Since $1, y, 1, x$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}, x^{1}$ .

Passaggio 5.1.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 5.1.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 5.1.5

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 5.1.6

Il fattore di $y^{1}$ è $y$ stesso.

$y^{1} = y$

$y$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 5.1.7

Il fattore di $x^{1}$ è $x$ stesso.

$x^{1} = x$

$x$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 5.1.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $y^{1}, x^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$y x$

Passaggio 5.2

Moltiplica per $y x$ ciascun termine in $6 y^{5} y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = \frac{9}{x}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica ogni termine in $6 y^{5} y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = \frac{9}{x}$ per $y x$ .

$6 y^{5} y' (y x) + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{9}{x} (y x)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Moltiplica $y^{5}$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1

Sposta $y$ .

$6 (y \cdot y^{5}) y' x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{9}{x} (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Moltiplica $y$ per $y^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$6 (y^{1} y^{5}) y' x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{9}{x} (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 y^{1 + 5} y' x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{9}{x} (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.1.3

Somma $1$ e $5$ .

$6 y^{6} y' x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{9}{x} (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1

Scomponi $y$ da $y x$ .

$6 y^{6} y' x + \frac{x y'}{y} (y (x)) + \ln (y) (y x) = \frac{9}{x} (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$6 y^{6} y' x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{9}{x} (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$6 y^{6} y' x + x y' x + \ln (y) (y x) = \frac{9}{x} (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$6 y^{6} y' x + y' (x^{1} x) + \ln (y) (y x) = \frac{9}{x} (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$6 y^{6} y' x + y' (x^{1} x^{1}) + \ln (y) (y x) = \frac{9}{x} (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 y^{6} y' x + y' x^{1 + 1} + \ln (y) (y x) = \frac{9}{x} (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.6

Somma $1$ e $1$ .

$6 y^{6} y' x + y' x^{2} + \ln (y) (y x) = \frac{9}{x} (y x)$

Passaggio 5.2.2.2

Riordina i fattori in $6 y^{6} y' x + y' x^{2} + \ln (y) (y x)$ .

$6 y^{6} y' x + y' x^{2} + y x \ln (y) = \frac{9}{x} (y x)$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Scomponi $x$ da $y x$ .

$6 y^{6} y' x + y' x^{2} + y x \ln (y) = \frac{9}{x} (x y)$

Passaggio 5.2.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$6 y^{6} y' x + y' x^{2} + y x \ln (y) = \frac{9}{x} (x y)$

Passaggio 5.2.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$6 y^{6} y' x + y' x^{2} + y x \ln (y) = 9 y$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sottrai $y x \ln (y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 y^{6} y' x + y' x^{2} = 9 y - y x \ln (y)$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y' x$ da $6 y^{6} y' x + y' x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $y' x$ da $6 y^{6} y' x$ .

$y' x (6 y^{6}) + y' x^{2} = 9 y - y x \ln (y)$

Passaggio 5.3.2.2

Scomponi $y' x$ da $y' x^{2}$ .

$y' x (6 y^{6}) + y' x \cdot x = 9 y - y x \ln (y)$

Passaggio 5.3.2.3

Scomponi $y' x$ da $y' x (6 y^{6}) + y' x \cdot x$ .

$y' x (6 y^{6} + x) = 9 y - y x \ln (y)$

Passaggio 5.3.3

Dividi per $x (6 y^{6} + x)$ ciascun termine in $y' x (6 y^{6} + x) = 9 y - y x \ln (y)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi per $x (6 y^{6} + x)$ ciascun termine in $y' x (6 y^{6} + x) = 9 y - y x \ln (y)$ .

$\frac{y' x (6 y^{6} + x)}{x (6 y^{6} + x)} = \frac{9 y}{x (6 y^{6} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (6 y^{6} + x)}$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' x (6 y^{6} + x)}{x (6 y^{6} + x)} = \frac{9 y}{x (6 y^{6} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (6 y^{6} + x)}$

Passaggio 5.3.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (6 y^{6} + x)}{6 y^{6} + x} = \frac{9 y}{x (6 y^{6} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (6 y^{6} + x)}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $6 y^{6} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (6 y^{6} + x)}{6 y^{6} + x} = \frac{9 y}{x (6 y^{6} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (6 y^{6} + x)}$

Passaggio 5.3.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{9 y}{x (6 y^{6} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (6 y^{6} + x)}$

Passaggio 5.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{9 y}{x (6 y^{6} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (6 y^{6} + x)}$

Passaggio 5.3.3.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{9 y}{x (6 y^{6} + x)} + \frac{- y \ln (y)}{6 y^{6} + x}$

Passaggio 5.3.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{9 y}{x (6 y^{6} + x)} - \frac{y \ln (y)}{6 y^{6} + x}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Per scrivere $- \frac{y \ln (y)}{6 y^{6} + x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{9 y}{x (6 y^{6} + x)} - \frac{y \ln (y)}{6 y^{6} + x} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 5.3.3.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x (6 y^{6} + x)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.3.1

Moltiplica $\frac{y \ln (y)}{6 y^{6} + x}$ per $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{9 y}{x (6 y^{6} + x)} - \frac{y \ln (y) x}{(6 y^{6} + x) x}$

Passaggio 5.3.3.3.3.2

Riordina i fattori di $(6 y^{6} + x) x$ .

$y' = \frac{9 y}{x (6 y^{6} + x)} - \frac{y \ln (y) x}{x (6 y^{6} + x)}$

Passaggio 5.3.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{9 y - y \ln (y) x}{x (6 y^{6} + x)}$

Passaggio 5.3.3.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.5.1

Scomponi $y$ da $9 y - y \ln (y) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.5.1.1

Scomponi $y$ da $9 y$ .

$y' = \frac{y \cdot 9 - y \ln (y) x}{x (6 y^{6} + x)}$

Passaggio 5.3.3.3.5.1.2

Scomponi $y$ da $- y \ln (y) x$ .

$y' = \frac{y \cdot 9 + y (- 1 \ln (y) x)}{x (6 y^{6} + x)}$

Passaggio 5.3.3.3.5.1.3

Scomponi $y$ da $y \cdot 9 + y (- 1 \ln (y) x)$ .

$y' = \frac{y (9 - 1 \ln (y) x)}{x (6 y^{6} + x)}$

Passaggio 5.3.3.3.5.2

Riscrivi $- 1 \ln (y)$ come $- \ln (y)$ .

$y' = \frac{y (9 - \ln (y) x)}{x (6 y^{6} + x)}$

Passaggio 5.3.3.3.6

Riordina i fattori in $\frac{y (9 - \ln (y) x)}{x (6 y^{6} + x)}$ .

$y' = \frac{y (9 - x \ln (y))}{x (6 y^{6} + x)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (9 - x \ln (y))}{x (6 y^{6} + x)}$

Passaggio 7

Imposta $\frac{d y}{d x} = 0$ quindi risolvi per $x$ in termini di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$y (9 - x \ln (y)) = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Dividi per $y$ ciascun termine in $y (9 - x \ln (y)) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Dividi per $y$ ciascun termine in $y (9 - x \ln (y)) = 0$ .

$\frac{y (9 - x \ln (y))}{y} = \frac{0}{y}$

Passaggio 7.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (9 - x \ln (y))}{y} = \frac{0}{y}$

Passaggio 7.2.1.2.1.2

Dividi $9 - x \ln (y)$ per $1$ .

$9 - x \ln (y) = \frac{0}{y}$

Passaggio 7.2.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.3.1

Dividi $0$ per $y$ .

$9 - x \ln (y) = 0$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x \ln (y) = - 9$

Passaggio 7.2.3

Dividi per $- \ln (y)$ ciascun termine in $- x \ln (y) = - 9$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Dividi per $- \ln (y)$ ciascun termine in $- x \ln (y) = - 9$ .

$\frac{- x \ln (y)}{- \ln (y)} = \frac{- 9}{- \ln (y)}$

Passaggio 7.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x \ln (y)}{\ln (y)} = \frac{- 9}{- \ln (y)}$

Passaggio 7.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $\ln (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \ln (y)}{\ln (y)} = \frac{- 9}{- \ln (y)}$

Passaggio 7.2.3.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 9}{- \ln (y)}$

Passaggio 7.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{9}{\ln (y)}$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Elimina il fattore comune di $\ln (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9}{\ln (y)} \ln (y) + y^{6} = 9 \ln (\frac{9}{\ln (y)})$

Passaggio 8.1.2

Riscrivi l'espressione.

$9 + y^{6} = 9 \ln (\frac{9}{\ln (y)})$

Passaggio 8.2

Semplifica $9 \ln (\frac{9}{\ln (y)})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica $9 \ln (\frac{9}{\ln (y)})$ spostando $9$ all'interno del logaritmo.

$9 + y^{6} = \ln ({(\frac{9}{\ln (y)})}^{9})$

Passaggio 8.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{9}{\ln (y)}$ .

$9 + y^{6} = \ln (\frac{9^{9}}{\ln^{9} (y)})$

Passaggio 8.2.3

Eleva $9$ alla potenza di $9$ .

$9 + y^{6} = \ln (\frac{387420489}{\ln^{9} (y)})$

Passaggio 8.3

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$y \approx 1.61046107$

Passaggio 9

Rimuovi le parentesi.

$x = \frac{9}{\ln (1.61046107)}$

Passaggio 10

Trova i punti dove $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(\frac{9}{\ln (1.61046107)}, 1.61046107)$

Passaggio 11