Calcolo Esempi

$y = 12 x^{3} - 27 x^{2} - 36 x + 8$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (12 x^{3} - 27 x^{2} - 36 x + 8)$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x^{3} - 27 x^{2} - 36 x + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{3}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $3$ per $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 27$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 27 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{2} - 27 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$36 x^{2} - 27 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $2$ per $- 27$ .

$36 x^{2} - 54 x + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $- 36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 36 x$ rispetto a $x$ è $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $- 36$ per $1$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36 + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36 + 0$

Passaggio 3.5.2

Somma $36 x^{2} - 54 x - 36$ e $0$ .

$36 x^{2} - 54 x - 36$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 36 x^{2} - 54 x - 36$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 36 x^{2} - 54 x - 36$

Passaggio 6

Imposta $\frac{d y}{d x} = 0$ quindi risolvi per $x$ in termini di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scomponi $18$ da $36 x^{2} - 54 x - 36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Scomponi $18$ da $36 x^{2}$ .

$18 (2 x^{2}) - 54 x - 36 = 0$

Passaggio 6.1.1.2

Scomponi $18$ da $- 54 x$ .

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 3 x) - 36 = 0$

Passaggio 6.1.1.3

Scomponi $18$ da $- 36$ .

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 3 x) + 18 (- 2) = 0$

Passaggio 6.1.1.4

Scomponi $18$ da $18 (2 x^{2}) + 18 (- 3 x)$ .

$18 (2 x^{2} - 3 x) + 18 (- 2) = 0$

Passaggio 6.1.1.5

Scomponi $18$ da $18 (2 x^{2} - 3 x) + 18 (- 2)$ .

$18 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Passaggio 6.1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ e la cui somma è $b = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1.1

Scomponi $- 3$ da $- 3 x$ .

$18 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Passaggio 6.1.2.1.1.2

Riscrivi $- 3$ come $1$ più $- 4$ .

$18 (2 x^{2} + (1 - 4) x - 2) = 0$

Passaggio 6.1.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$18 (2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2) = 0$

Passaggio 6.1.2.1.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$18 (2 x^{2} + x - 4 x - 2) = 0$

Passaggio 6.1.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$18 ((2 x^{2} + x) - 4 x - 2) = 0$

Passaggio 6.1.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$18 (x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)) = 0$

Passaggio 6.1.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x + 1$ .

$18 ((2 x + 1) (x - 2)) = 0$

Passaggio 6.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$18 (2 x + 1) (x - 2) = 0$

Passaggio 6.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 6.3

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Passaggio 6.3.2

Risolvi $2 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 1$

Passaggio 6.3.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 6.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 6.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 6.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.4

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 6.4.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 6.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $18 (2 x + 1) (x - 2) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{2}, 2$

Passaggio 7

Semplifica $12 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$y = 12 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 7.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$y = 12 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 7.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$y = 12 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 7.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = 12 (- \frac{1}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 7.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$y = 12 (- \frac{1}{8}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 7.1.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{8}$ nel numeratore.

$y = 12 (\frac{- 1}{8}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 7.1.5.2

Scomponi $4$ da $12$ .

$y = 4 (3) \frac{- 1}{8} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 7.1.5.3

Scomponi $4$ da $8$ .

$y = 4 \cdot 3 \frac{- 1}{4 \cdot 2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 7.1.5.4

Elimina il fattore comune.

$y = 4 \cdot 3 \frac{- 1}{4 \cdot 2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 7.1.5.5

Riscrivi l'espressione.

$y = 3 (\frac{- 1}{2}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 7.1.6

$3$ e $\frac{- 1}{2}$ .

$y = \frac{3 \cdot - 1}{2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 7.1.7

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 3}{2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 7.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{3}{2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 7.1.9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.9.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2} - 27 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 7.1.9.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2} - 27 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 7.1.10

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$y = - \frac{3}{2} - 27 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 7.1.11

Moltiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$y = - \frac{3}{2} - 27 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 7.1.12

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = - \frac{3}{2} - 27 \frac{1}{2^{2}} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 7.1.13

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = - \frac{3}{2} - 27 (\frac{1}{4}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 7.1.14

$- 27$ e $\frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{3}{2} + \frac{- 27}{4} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 7.1.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

Passaggio 7.1.16

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.16.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} - 36 (\frac{- 1}{2}) + 8$

Passaggio 7.1.16.2

Scomponi $2$ da $- 36$ .

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} + 2 (- 18) \frac{- 1}{2} + 8$

Passaggio 7.1.16.3

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} + 2 \cdot - 18 \frac{- 1}{2} + 8$

Passaggio 7.1.16.4

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} - 18 \cdot - 1 + 8$

Passaggio 7.1.17

Moltiplica $- 18$ per $- 1$ .

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} + 18 + 8$

Passaggio 7.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$y = - (\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}) - \frac{27}{4} + 18 + 8$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + 18 + 8$

Passaggio 7.2.3

Scrivi $18$ come una frazione con denominatore $1$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18}{1} + 8$

Passaggio 7.2.4

Moltiplica $\frac{18}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18}{1} \cdot \frac{4}{4} + 8$

Passaggio 7.2.5

Moltiplica $\frac{18}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + 8$

Passaggio 7.2.6

Scrivi $8$ come una frazione con denominatore $1$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8}{1}$

Passaggio 7.2.7

Moltiplica $\frac{8}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 7.2.8

Moltiplica $\frac{8}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8 \cdot 4}{4}$

Passaggio 7.2.9

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{4} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8 \cdot 4}{4}$

Passaggio 7.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{- 3 \cdot 2 - 27 + 18 \cdot 4 + 8 \cdot 4}{4}$

Passaggio 7.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$y = \frac{- 6 - 27 + 18 \cdot 4 + 8 \cdot 4}{4}$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $18$ per $4$ .

$y = \frac{- 6 - 27 + 72 + 8 \cdot 4}{4}$

Passaggio 7.4.3

Moltiplica $8$ per $4$ .

$y = \frac{- 6 - 27 + 72 + 32}{4}$

Passaggio 7.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Sottrai $27$ da $- 6$ .

$y = \frac{- 33 + 72 + 32}{4}$

Passaggio 7.5.2

Somma $- 33$ e $72$ .

$y = \frac{39 + 32}{4}$

Passaggio 7.5.3

Somma $39$ e $32$ .

$y = \frac{71}{4}$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 12 \cdot 2^{3} - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

Passaggio 8.2

Rimuovi le parentesi.

$y = 12 \cdot 2^{3} - 27 \cdot 2^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

Passaggio 8.3

Rimuovi le parentesi.

$y = 12 {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

Passaggio 8.4

Semplifica $12 {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$y = 12 \cdot 8 - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

Passaggio 8.4.1.2

Moltiplica $12$ per $8$ .

$y = 96 - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

Passaggio 8.4.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = 96 - 27 \cdot 4 - 36 \cdot 2 + 8$

Passaggio 8.4.1.4

Moltiplica $- 27$ per $4$ .

$y = 96 - 108 - 36 \cdot 2 + 8$

Passaggio 8.4.1.5

Moltiplica $- 36$ per $2$ .

$y = 96 - 108 - 72 + 8$

Passaggio 8.4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1

Sottrai $108$ da $96$ .

$y = - 12 - 72 + 8$

Passaggio 8.4.2.2

Sottrai $72$ da $- 12$ .

$y = - 84 + 8$

Passaggio 8.4.2.3

Somma $- 84$ e $8$ .

$y = - 76$

Passaggio 9

Trova i punti dove $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- \frac{1}{2}, \frac{71}{4})$

$(2, - 76)$

Passaggio 10