Calcolo Esempi

$y = 6 x - 4 \cos (3 x)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (6 x - 4 \cos (3 x))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x - 4 \cos (3 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 \cos (3 x)$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ .

$6 - 4 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$6 - 4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 3.3.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$6 - 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Passaggio 3.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) (3 \cdot 1))$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) \cdot 3)$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$6 - 4 (- 3 \sin (3 x))$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $- 3$ per $- 4$ .

$6 + 12 \sin (3 x)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 6 + 12 \sin (3 x)$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 + 12 \sin (3 x)$

Passaggio 6

Imposta $\frac{d y}{d x} = 0$ quindi risolvi per $x$ in termini di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$12 \sin (3 x) = - 6$

Passaggio 6.2

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 \sin (3 x) = - 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 \sin (3 x) = - 6$ .

$\frac{12 \sin (3 x)}{12} = \frac{- 6}{12}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 \sin (3 x)}{12} = \frac{- 6}{12}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Dividi $\sin (3 x)$ per $1$ .

$\sin (3 x) = \frac{- 6}{12}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.1

Scomponi $6$ da $- 6$ .

$\sin (3 x) = \frac{6 (- 1)}{12}$

Passaggio 6.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.2.1

Scomponi $6$ da $12$ .

$\sin (3 x) = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Passaggio 6.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sin (3 x) = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Passaggio 6.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sin (3 x) = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 6.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sin (3 x) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$3 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Passaggio 6.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (- \frac{1}{2})$ è $- \frac{π}{6}$ .

$3 x = - \frac{π}{6}$

Passaggio 6.5

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - \frac{π}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - \frac{π}{6}$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

Passaggio 6.5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

Passaggio 6.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 6.5.3.2

Moltiplica $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 6}$

Passaggio 6.5.3.2.2

Moltiplica $3$ per $6$ .

$x = - \frac{π}{18}$

Passaggio 6.6

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$3 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Passaggio 6.7

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$3 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Passaggio 6.7.2

L'angolo risultante di $\frac{7 π}{6}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$3 x = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 6.7.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{7 π}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{7 π}{6}$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

Passaggio 6.7.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

Passaggio 6.7.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

Passaggio 6.7.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 6.7.3.3.2

Moltiplica $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{7 π}{6}$ per $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 3}$

Passaggio 6.7.3.3.2.2

Moltiplica $6$ per $3$ .

$x = \frac{7 π}{18}$

Passaggio 6.8

Trova il periodo di $\sin (3 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.8.2

Sostituisci $b$ con $3$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Passaggio 6.8.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Passaggio 6.9

Somma $\frac{2 π}{3}$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.9.1

Somma $\frac{2 π}{3}$ a $- \frac{π}{18}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{18} + \frac{2 π}{3}$

Passaggio 6.9.2

Per scrivere $\frac{2 π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{18}$

Passaggio 6.9.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $18$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.9.3.1

Moltiplica $\frac{2 π}{3}$ per $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{3 \cdot 6} - \frac{π}{18}$

Passaggio 6.9.3.2

Moltiplica $3$ per $6$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{18} - \frac{π}{18}$

Passaggio 6.9.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{18}$

Passaggio 6.9.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.9.5.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{12 π - π}{18}$

Passaggio 6.9.5.2

Sottrai $π$ da $12 π$ .

$\frac{11 π}{18}$

Passaggio 6.9.6

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{11 π}{18}$

Passaggio 6.10

Il periodo della funzione $\sin (3 x)$ è $\frac{2 π}{3}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{2 π}{3}$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, \frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Semplifica $6 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = 6 \frac{7 π}{18} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Passaggio 7.1.2

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Scomponi $6$ da $18$ .

$y = 6 \frac{7 π}{6 (3)} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Passaggio 7.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = 6 \frac{7 π}{6 \cdot 3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Passaggio 7.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{7 π}{3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Passaggio 7.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.3.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$y = \frac{7 π}{3} + 3 (2) \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Passaggio 7.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{7 π}{3} + 3 \cdot 2 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Passaggio 7.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{7 π}{3} + 2 (2 π n) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{7 π}{3} + 4 (π n) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Passaggio 7.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{18} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Passaggio 7.1.6

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.6.1

Scomponi $3$ da $18$ .

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{3 (6)} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Passaggio 7.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{3 \cdot 6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Passaggio 7.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Passaggio 7.1.7

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.7.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Passaggio 7.1.7.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$

Passaggio 7.2

Semplifica con la commutazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Riordina $\frac{7 π}{6}$ e $2 π n$ .

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6})$

Passaggio 7.2.2

Riordina $\frac{7 π}{3}$ e $4 π n$ .

$y = 4 π n + \frac{7 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6})$

Passaggio 8

Semplifica $6 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = 6 \frac{11 π}{18} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Passaggio 8.1.2

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1

Scomponi $6$ da $18$ .

$y = 6 \frac{11 π}{6 (3)} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Passaggio 8.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = 6 \frac{11 π}{6 \cdot 3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Passaggio 8.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{11 π}{3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Passaggio 8.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.3.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$y = \frac{11 π}{3} + 3 (2) \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Passaggio 8.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{11 π}{3} + 3 \cdot 2 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Passaggio 8.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{11 π}{3} + 2 (2 π n) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{11 π}{3} + 4 (π n) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Passaggio 8.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{18} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Passaggio 8.1.6

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.6.1

Scomponi $3$ da $18$ .

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{3 (6)} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Passaggio 8.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{3 \cdot 6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Passaggio 8.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Passaggio 8.1.7

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.7.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Passaggio 8.1.7.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 2 π n)$

Passaggio 8.2

Semplifica con la commutazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Riordina $\frac{11 π}{6}$ e $2 π n$ .

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6})$

Passaggio 8.2.2

Riordina $\frac{11 π}{3}$ e $4 π n$ .

$y = 4 π n + \frac{11 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6})$

Passaggio 9

Trova i punti dove $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, 4 π n + \frac{7 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6}))$ , per qualsiasi intero $n$

$(\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, 4 π n + \frac{11 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6}))$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10