Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 21}$ , $a = 2$

Passaggio 1

Considera la funzione usata per trovare la linearizzazione in $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Passaggio 2

Sostituisci il valore di $a = 2$ nella funzione di linearizzazione.

$L (x) = f (2) + f' (2) (x - 2)$

Passaggio 3

Calcola $f (2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \sqrt{{(2)}^{2} + 21}$

Passaggio 3.2

Semplifica $\sqrt{{(2)}^{2} + 21}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$\sqrt{{(2)}^{2} + 21}$

Passaggio 3.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{4 + 21}$

Passaggio 3.2.3

Somma $4$ e $21$ .

$\sqrt{25}$

Passaggio 3.2.4

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Passaggio 3.2.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$5$

Passaggio 4

Trova la derivata e calcolala con $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata di $f (x) = \sqrt{x^{2} + 21}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + 21}$ come ${(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 21$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 21$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Passaggio 4.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 21$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Passaggio 4.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Passaggio 4.1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Passaggio 4.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Passaggio 4.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Passaggio 4.1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Passaggio 4.1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Passaggio 4.1.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Passaggio 4.1.7.3

Sposta ${(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Passaggio 4.1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 21$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [21]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [21])$

Passaggio 4.1.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [21])$

Passaggio 4.1.10

Poiché $21$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $21$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Passaggio 4.1.11

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.11.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Passaggio 4.1.11.2

$2$ e $\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} x$

Passaggio 4.1.11.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.11.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.11.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x}{{(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.2

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$\frac{2}{{({(2)}^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2}{{(4 + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.3.2

Somma $4$ e $21$ .

$\frac{2}{25^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.3.3

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{2}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.3.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 4.3.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 4.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{5^{1}}$

Passaggio 4.3.6

Calcola l'esponente.

$\frac{2}{5}$

Passaggio 5

Sostituisci i componenti nella funzione di linearizzazione per trovare la linearizzazione a $a$ .

$L (x) = 5 + \frac{2}{5} (x - 2)$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$L (x) = 5 + \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 2$

Passaggio 6.1.2

$\frac{2}{5}$ e $x$ .

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 2$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica $\frac{2}{5} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

$\frac{2}{5}$ e $- 2$ .

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} + \frac{2 \cdot - 2}{5}$

Passaggio 6.1.3.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} + \frac{- 4}{5}$

Passaggio 6.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5}$

Passaggio 6.2

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

Passaggio 6.3

$5$ e $\frac{5}{5}$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5} - \frac{4}{5}$

Passaggio 6.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{5 \cdot 5 - 4}{5}$

Passaggio 6.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Moltiplica $5$ per $5$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{25 - 4}{5}$

Passaggio 6.5.2

Sottrai $4$ da $25$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{21}{5}$

Passaggio 7