Calcolo Esempi

$f (x) = 1 - x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 1.1.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = 0 - \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Passaggio 1.1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 1.1.2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Passaggio 1.1.2.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Passaggio 1.1.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 1.1.2.8

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 1.1.2.9

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.3

Sottrai $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ da $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 = 0$

Passaggio 2.3

Poiché $1 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 4.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$- \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Passaggio 4.2

Imposta il denominatore in $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Passaggio 4.3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 4.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x^{2}}$ come $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Semplifica ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Passaggio 4.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 4.3.2.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 4.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 4.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 4.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$27 x^{2} = 0^{3}$

Passaggio 4.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$27 x^{2} = 0$

Passaggio 4.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x^{2} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.1

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x^{2} = 0$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Passaggio 4.3.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Passaggio 4.3.3.1.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

Passaggio 4.3.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.3.1

Dividi $0$ per $27$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 4.3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 4.3.3.3

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.3.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 4.3.3.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 4.3.3.3.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = 1 - x^{\frac{1}{3}}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = - \frac{1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 6.2.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.2.1.1

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 6.2.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Passaggio 6.2.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$f' (- 1) = - \frac{1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Passaggio 6.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 1) = - \frac{1}{3 {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{3 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{3}$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $- \frac{1}{3}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = - \frac{1}{3 {(1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 7.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = - \frac{1}{3 \cdot 1}$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{3}$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $- \frac{1}{3}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, \infty)$ .

Decrescente su $(0, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Decrescente su: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Passaggio 9