Calcolo Esempi

$\sin (2 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Passaggio 1.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Passaggio 1.2.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Passaggio 2

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 \cos (2 x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (2 x) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (2 x) = 0$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Dividi $\cos (2 x)$ per $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$\cos (2 x) = 0$

Passaggio 2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arccos (0)$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Passaggio 2.4

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{2}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4.3.2

Moltiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.4.3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 2.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.6.1.2

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.6.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 2.6.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 2.6.1.5

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 2.6.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{3 π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{3 π}{2}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Passaggio 2.6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Passaggio 2.6.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Passaggio 2.6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 2.6.2.3.2

Moltiplica $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{3 π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.6.2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 2.7

Trova il periodo di $\cos (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.7.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Passaggio 2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 2.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 2.7.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 2.8

Il periodo della funzione $\cos (2 x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.9

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Risolvi la funzione originale $f (x) = \sin (2 x)$ con $x = \frac{π}{4}$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (2 (\frac{π}{4}))$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \sin (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

Passaggio 3.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

Passaggio 3.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 3.2.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1$

Passaggio 3.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = \sin (2 x)$ con $x = \frac{π}{4} + \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{4} + \frac{π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}))$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Per scrivere $\frac{π}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}))$

Passaggio 4.2.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}))$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}))$

Passaggio 4.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π + π \cdot 2}{4}))$

Passaggio 4.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π + 2 \cdot π}{4}))$

Passaggio 4.2.4.2

Somma $π$ e $2 π$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

Passaggio 4.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)}))$

Passaggio 4.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}))$

Passaggio 4.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 4.2.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 4.2.7

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = - 1 \cdot 1$

Passaggio 4.2.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = - 1$

Passaggio 4.2.9

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 5

La linea tangente orizzontale sulla funzione $f (x) = \sin (2 x)$ è $y = 1, y = - 1$ .

$y = 1, y = - 1$

Passaggio 6