Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x + 7$

Passaggio 1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$

Passaggio 2

Imposta $y$ come una funzione di $x$ .

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$

Passaggio 3

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{3}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 3.2.3

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 3.2.4

$\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 3.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 3.2.5.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 3.4.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{2} - 2 + 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $x^{2} - 2$ e $0$ .

$x^{2} - 2$

Passaggio 4

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{2} - 2 = 0$ .

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Passaggio 4.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 2$

Passaggio 4.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{2}$

Passaggio 4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 4.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{2}$

Passaggio 4.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{2}$

Passaggio 4.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 5

Risolvi la funzione originale $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ con $x = \sqrt{2}$ .

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\sqrt{2}$ nell'espressione.

$f (\sqrt{2}) = \frac{{(\sqrt{2})}^{3}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.1.1

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2^{3}}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

Passaggio 5.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{8}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

Passaggio 5.2.1.3

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.3.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{4 (2)}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

Passaggio 5.2.1.3.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

Passaggio 5.2.1.4

Estrai i termini dal radicale.

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

Passaggio 5.2.2

Per scrivere $- 2 \sqrt{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3} - 2 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} + 7$

Passaggio 5.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

$- 2 \sqrt{2}$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3} + \frac{- 2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

Passaggio 5.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

Passaggio 5.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.1

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2}}{3} + 7$

Passaggio 5.2.4.1.2

Sottrai $6 \sqrt{2}$ da $2 \sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \frac{- 4 \sqrt{2}}{3} + 7$

Passaggio 5.2.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\sqrt{2}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

Passaggio 5.2.5

La risposta finale è $- \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

Passaggio 6

Risolvi la funzione originale $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ con $x = - \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \sqrt{2}$ nell'espressione.

$f (- \sqrt{2}) = \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Passaggio 6.2.1.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- {\sqrt{2}}^{3}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Passaggio 6.2.1.1.3

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{2^{3}}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Passaggio 6.2.1.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{8}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Passaggio 6.2.1.1.5

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.5.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{4 (2)}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Passaggio 6.2.1.1.5.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Passaggio 6.2.1.1.6

Estrai i termini dal radicale.

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 1 \cdot (2 \sqrt{2})}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Passaggio 6.2.1.1.7

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Passaggio 6.2.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} + 2 \sqrt{2} + 7$

Passaggio 6.2.2

Per scrivere $2 \sqrt{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} + 2 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} + 7$

Passaggio 6.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

$2 \sqrt{2}$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} + \frac{2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

Passaggio 6.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

Passaggio 6.2.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.2.4.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2}}{3} + 7$

Passaggio 6.2.4.2

Somma $- 2 \sqrt{2}$ e $6 \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

Passaggio 6.2.5

La risposta finale è $\frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

Passaggio 7

Le tangenti orizzontali sulla funzione $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ sono $y = - \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7, y = \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$ .

$y = - \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7, y = \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

Passaggio 8