Calcolo Esempi

$y = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$

Passaggio 1

Imposta $y$ come una funzione di $x$ .

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$

Passaggio 2

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$3 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $3 x^{2} - 10 x + 3$ e $0$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3$

Passaggio 3

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 10 x + 3 = 0$ .

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Passaggio 3.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot 3 = 9$ e la cui somma è $b = - 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Scomponi $- 10$ da $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 = 0$

Passaggio 3.1.1.2

Riscrivi $- 10$ come $- 1$ più $- 9$ .

$3 x^{2} + (- 1 - 9) x + 3 = 0$

Passaggio 3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} - 1 x - 9 x + 3 = 0$

Passaggio 3.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 x^{2} - 1 x) - 9 x + 3 = 0$

Passaggio 3.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (3 x - 1) - 3 (3 x - 1) = 0$

Passaggio 3.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x - 3) = 0$

Passaggio 3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 3.3

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Passaggio 3.3.2

Risolvi $3 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 1$

Passaggio 3.3.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 3.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Passaggio 3.4

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x - 1) (x - 3) = 0$ vera.

$x = \frac{1}{3}, 3$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ con $x = \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Passaggio 4.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Passaggio 4.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Passaggio 4.2.1.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Passaggio 4.2.1.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 \frac{1}{3^{2}} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Passaggio 4.2.1.6

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 (\frac{1}{9}) + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Passaggio 4.2.1.7

$- 5$ e $\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{- 5}{9} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Passaggio 4.2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Passaggio 4.2.1.9

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.9.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Passaggio 4.2.1.9.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 1 + 1$

Passaggio 4.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $\frac{5}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - (\frac{5}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 1 + 1$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $\frac{5}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 1 + 1$

Passaggio 4.2.2.3

Scrivi $1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{1} + 1$

Passaggio 4.2.2.4

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27} + 1$

Passaggio 4.2.2.5

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + 1$

Passaggio 4.2.2.6

Scrivi $1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{1}{1}$

Passaggio 4.2.2.7

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Passaggio 4.2.2.8

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

Passaggio 4.2.2.9

Riordina i fattori di $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

Passaggio 4.2.2.10

Moltiplica $3$ per $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{27} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

Passaggio 4.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 5 \cdot 3 + 27 + 27}{27}$

Passaggio 4.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 15 + 27 + 27}{27}$

Passaggio 4.2.4.2

Sottrai $15$ da $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 14 + 27 + 27}{27}$

Passaggio 4.2.4.3

Somma $- 14$ e $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{13 + 27}{27}$

Passaggio 4.2.4.4

Somma $13$ e $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{40}{27}$

Passaggio 4.2.5

La risposta finale è $\frac{40}{27}$ .

$\frac{40}{27}$

Passaggio 5

Risolvi la funzione originale $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ con $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = {(3)}^{3} - 5 {(3)}^{2} + 3 (3) + 1$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (3) = 27 - 5 {(3)}^{2} + 3 (3) + 1$

Passaggio 5.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (3) = 27 - 5 \cdot 9 + 3 (3) + 1$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 5$ per $9$ .

$f (3) = 27 - 45 + 3 (3) + 1$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (3) = 27 - 45 + 9 + 1$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $45$ da $27$ .

$f (3) = - 18 + 9 + 1$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $- 18$ e $9$ .

$f (3) = - 9 + 1$

Passaggio 5.2.2.3

Somma $- 9$ e $1$ .

$f (3) = - 8$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 8$ .

$- 8$

Passaggio 6

Le tangenti orizzontali sulla funzione $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ sono $y = \frac{40}{27}, y = - 8$ .

$y = \frac{40}{27}, y = - 8$

Passaggio 7