Calcolo Esempi

$y = x^{3} - 4 x$

Passaggio 1

Imposta $y$ come una funzione di $x$ .

$f (x) = x^{3} - 4 x$

Passaggio 2

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} - 4 \cdot 1$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$3 x^{2} - 4$

Passaggio 3

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 4 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} = 4$

Passaggio 3.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 4$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{3}$

Passaggio 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{4}{3}}$ come $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 3.4.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 3.4.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 3.4.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 3.4.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 3.4.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.4.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 3.4.4.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.4.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 3.4.4.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = x^{3} - 4 x$ con $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(2 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{2^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.2.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.2.1.2.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{3}$ come $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.2.1.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{27}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.2.1.2.4

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.4.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.2.1.2.4.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.2.1.2.5

Estrai i termini dal radicale.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \cdot (3 \sqrt{3})}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.2.1.2.6

Moltiplica $8$ per $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{24 \sqrt{3}}{3^{3}} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{24 \sqrt{3}}{27} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.2.1.4

Elimina il fattore comune di $24$ e $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.4.1

Scomponi $3$ da $24 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{3 (8 \sqrt{3})}{27} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.4.2.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 (9)} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 \cdot 9} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.2.1.5

Moltiplica $- 4 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.5.1

$- 4$ e $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 4 (2 \sqrt{3})}{3}$

Passaggio 4.2.1.5.2

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.2.2

Per scrivere $- \frac{8 \sqrt{3}}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 4.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Moltiplica $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Passaggio 4.2.3.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Passaggio 4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Passaggio 4.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Moltiplica $3$ per $- 8$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 4.2.5.2

Sottrai $24 \sqrt{3}$ da $8 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 16 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 4.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 4.2.7

La risposta finale è $- \frac{16 \sqrt{3}}{9}$ .

$- \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 5

Risolvi la funzione originale $f (x) = x^{3} - 4 x$ con $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ nell'espressione.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = {(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 5.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{{(2 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 5.2.1.1.3

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 5.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{2^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 5.2.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 5.2.1.3.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{3}$ come $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 5.2.1.3.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{27}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 5.2.1.3.4

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.3.4.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 5.2.1.3.4.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 5.2.1.3.5

Estrai i termini dal radicale.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \cdot (3 \sqrt{3})}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 5.2.1.3.6

Moltiplica $8$ per $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{24 \sqrt{3}}{3^{3}} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 5.2.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{24 \sqrt{3}}{27} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 5.2.1.5

Elimina il fattore comune di $24$ e $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.5.1

Scomponi $3$ da $24 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{3 (8 \sqrt{3})}{27} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 5.2.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.5.2.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 (9)} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 5.2.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 \cdot 9} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 5.2.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} - 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 5.2.1.6

Moltiplica $- 4 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + 4 (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 5.2.1.6.2

$4$ e $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 (2 \sqrt{3})}{3}$

Passaggio 5.2.1.6.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 5.2.2

Per scrivere $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 5.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Passaggio 5.2.3.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Passaggio 5.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Passaggio 5.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Moltiplica $3$ per $8$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 5.2.5.2

Somma $- 8 \sqrt{3}$ e $24 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 5.2.6

La risposta finale è $\frac{16 \sqrt{3}}{9}$ .

$\frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 6

Le tangenti orizzontali sulla funzione $f (x) = x^{3} - 4 x$ sono $y = - \frac{16 \sqrt{3}}{9}, y = \frac{16 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = - \frac{16 \sqrt{3}}{9}, y = \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 7