Calcolo Esempi

$y = x^{3} + 3 x^{2} + 2$

Passaggio 1

Imposta $y$ come una funzione di $x$ .

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 2$

Passaggio 2

Trova la derivata.

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Passaggio 2.1

Differenzia.

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Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 3 x^{2} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} + 6 x + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $3 x^{2} + 6 x$ e $0$ .

$3 x^{2} + 6 x$

Passaggio 3

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} + 6 x = 0$ .

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Passaggio 3.1

Scomponi $3 x$ da $3 x^{2} + 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $3 x$ da $3 x^{2}$ .

$3 x (x) + 6 x = 0$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $3 x$ da $6 x$ .

$3 x (x) + 3 x (2) = 0$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $3 x$ da $3 x (x) + 3 x (2)$ .

$3 x (x + 2) = 0$

Passaggio 3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 3.3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.4.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 3.4.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 x (x + 2) = 0$ vera.

$x = 0, - 2$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 2$ con $x = 0$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 2$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 3 {(0)}^{2} + 2$

Passaggio 4.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 3 \cdot 0 + 2$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 2$

Passaggio 4.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

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Passaggio 4.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 2$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$f (0) = 2$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 5

Risolvi la funzione originale $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 2$ con $x = - 2$ .

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} + 2$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f (- 2) = - 8 + 3 {(- 2)}^{2} + 2$

Passaggio 5.2.1.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = - 8 + 3 \cdot 4 + 2$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f (- 2) = - 8 + 12 + 2$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Somma $- 8$ e $12$ .

$f (- 2) = 4 + 2$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $4$ e $2$ .

$f (- 2) = 6$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $6$ .

$6$

Passaggio 6

Le tangenti orizzontali sulla funzione $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 2$ sono $y = 2, y = 6$ .

$y = 2, y = 6$

Passaggio 7