Calcolo Esempi

$f (x) = x \ln (x^{2})$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x^{2})$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$x (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 1.3.1

$\frac{1}{x^{2}}$ e $x$ .

$\frac{x}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{1}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2.3

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.3.2.3.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{x} (2 x) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.4

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.3.4.1

$2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2}{x} x + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.4.2

$\frac{2}{x}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.4.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.4.3.2

Dividi $2$ per $1$ .

$2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 + \ln (x^{2}) \cdot 1$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $\ln (x^{2})$ per $1$ .

$2 + \ln (x^{2})$

Passaggio 2

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 + \ln (x^{2}) = 0$ .

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Passaggio 2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\ln (x^{2}) = - 2$

Passaggio 2.2

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{- 2}$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\ln (x^{2}) = - 2$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 2} = x^{2}$

Passaggio 2.4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} = e^{- 2}$ .

$x^{2} = e^{- 2}$

Passaggio 2.4.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{e^{- 2}}$

Passaggio 2.4.3

Semplifica $\pm \sqrt{e^{- 2}}$ .

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Passaggio 2.4.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{e^{2}}}$

Passaggio 2.4.3.2

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{e^{2}}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}}$

Passaggio 2.4.3.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{e^{2}}}$

Passaggio 2.4.3.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm \frac{1}{e}$

Passaggio 2.4.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.4.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{1}{e}$

Passaggio 2.4.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{1}{e}$

Passaggio 2.4.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}$

Passaggio 3

Risolvi la funzione originale $f (x) = x \ln (x^{2})$ con $x = \frac{1}{e}$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{e}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{e}) = (\frac{1}{e}) \ln ({(\frac{1}{e})}^{2})$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{e}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1^{2}}{e^{2}})$

Passaggio 3.2.2

Sposta $e^{2}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1^{2} e^{- 2})$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi $\ln (1^{2} e^{- 2})$ come $\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2})$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2}))$

Passaggio 3.2.4

Usa le regole del logaritmo per togliere $- 2$ dall'esponente.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \ln (e))$

Passaggio 3.2.5

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \cdot 1)$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2)$

Passaggio 3.2.7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.7.1

Espandi $\ln (1^{2})$ spostando $2$ fuori dal logaritmo.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (2 \ln (1) - 2)$

Passaggio 3.2.7.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (2 \cdot 0 - 2)$

Passaggio 3.2.7.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (0 - 2)$

Passaggio 3.2.8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.2.8.1

Sottrai $2$ da $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot - 2$

Passaggio 3.2.8.2

$\frac{1}{e}$ e $- 2$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 2}{e}$

Passaggio 3.2.8.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{2}{e}$

Passaggio 3.2.9

La risposta finale è $- \frac{2}{e}$ .

$- \frac{2}{e}$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = x \ln (x^{2})$ con $x = - \frac{1}{e}$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1}{e}$ nell'espressione.

$f (- \frac{1}{e}) = (- \frac{1}{e}) \ln ({(- \frac{1}{e})}^{2})$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 4.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{e}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{e})}^{2})$

Passaggio 4.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{e}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{e^{2}}))$

Passaggio 4.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (1 (\frac{1^{2}}{e^{2}}))$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $\frac{1^{2}}{e^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1^{2}}{e^{2}})$

Passaggio 4.2.4

Sposta $e^{2}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (1^{2} e^{- 2})$

Passaggio 4.2.5

Riscrivi $\ln (1^{2} e^{- 2})$ come $\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2})$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2}))$

Passaggio 4.2.6

Usa le regole del logaritmo per togliere $- 2$ dall'esponente.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \ln (e))$

Passaggio 4.2.7

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \cdot 1)$

Passaggio 4.2.8

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2)$

Passaggio 4.2.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.9.1

Espandi $\ln (1^{2})$ spostando $2$ fuori dal logaritmo.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (2 \ln (1) - 2)$

Passaggio 4.2.9.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (2 \cdot 0 - 2)$

Passaggio 4.2.9.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (0 - 2)$

Passaggio 4.2.10

Sottrai $2$ da $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot - 2$

Passaggio 4.2.11

Moltiplica $- \frac{1}{e} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.11.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = 2 (\frac{1}{e})$

Passaggio 4.2.11.2

$2$ e $\frac{1}{e}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = \frac{2}{e}$

Passaggio 4.2.12

La risposta finale è $\frac{2}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Passaggio 5

Le tangenti orizzontali sulla funzione $f (x) = x \ln (x^{2})$ sono $y = - \frac{2}{e}, y = \frac{2}{e}$ .

$y = - \frac{2}{e}, y = \frac{2}{e}$

Passaggio 6