Calcolo Esempi

$y = x^{4} - 4 x^{2} + 1$

Passaggio 1

Imposta $y$ come una funzione di $x$ .

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$

Passaggio 2

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 4 x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x^{3} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$4 x^{3} - 8 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x^{3} - 8 x + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $4 x^{3} - 8 x$ e $0$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Passaggio 3

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 8 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3} - 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $4 x$ da $- 8 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $4 x$ da $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ .

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

Passaggio 3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Passaggio 3.3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x^{2} - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $x^{2} - 2$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $x^{2} - 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 2$

Passaggio 3.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Passaggio 3.4.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{2}$

Passaggio 3.4.2.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{2}$

Passaggio 3.4.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 x (x^{2} - 2) = 0$ vera.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ con $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2} + 1$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2} + 1$

Passaggio 4.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 1$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Passaggio 4.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$f (0) = 1$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 5

Risolvi la funzione originale $f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ con $x = \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\sqrt{2}$ nell'espressione.

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{4}$ come $2^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Passaggio 5.2.1.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Passaggio 5.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Passaggio 5.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Passaggio 5.2.1.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Passaggio 5.2.1.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Passaggio 5.2.1.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Passaggio 5.2.1.1.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Passaggio 5.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Passaggio 5.2.1.3

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

Passaggio 5.2.1.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

Passaggio 5.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1$

Passaggio 5.2.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1$

Passaggio 5.2.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2 + 1$

Passaggio 5.2.1.3.5

Calcola l'esponente.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2 + 1$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 8 + 1$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $8$ da $4$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4 + 1$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $- 4$ e $1$ .

$f (\sqrt{2}) = - 3$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 6

Le tangenti orizzontali sulla funzione $f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ sono $y = 1, y = - 3, y = - 3$ .

$y = 1, y = - 3, y = - 3$

Passaggio 7