Calcolo Esempi

$y = x^{4} - 2 x + 1$

Passaggio 1

Imposta $y$ come una funzione di $x$ .

$f (x) = x^{4} - 2 x + 1$

Passaggio 2

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 x^{3} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$4 x^{3} - 2 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x^{3} - 2 + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $4 x^{3} - 2$ e $0$ .

$4 x^{3} - 2$

Passaggio 3

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 2 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{3} = 2$

Passaggio 3.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{3} - 2 = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi $2$ da $4 x^{3} - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $2$ da $4 x^{3}$ .

$2 (2 x^{3}) - 2 = 0$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (- 1) = 0$

Passaggio 3.3.3

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{3}) + 2 (- 1)$ .

$2 (2 x^{3} - 1) = 0$

Passaggio 3.4

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (2 x^{3} - 1) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (2 x^{3} - 1) = 0$ .

$\frac{2 (2 x^{3} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 x^{3} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Dividi $2 x^{3} - 1$ per $1$ .

$2 x^{3} - 1 = \frac{0}{2}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$2 x^{3} - 1 = 0$

Passaggio 3.5

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{3} = 1$

Passaggio 3.6

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x^{3} = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x^{3} = 1$ .

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.6.2.1.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$

Passaggio 3.8

Semplifica $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ come $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2}}$

Passaggio 3.8.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

Passaggio 3.8.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Passaggio 3.8.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Passaggio 3.8.4.2

Eleva $\sqrt[3]{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Passaggio 3.8.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Passaggio 3.8.4.4

Somma $1$ e $2$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Passaggio 3.8.4.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{2}$ come $2^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 3.8.4.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 3.8.4.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.8.4.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.8.4.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Passaggio 3.8.4.5.5

Calcola l'esponente.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Passaggio 3.8.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.5.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ come $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Passaggio 3.8.5.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = x^{4} - 2 x + 1$ con $x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = {(\frac{\sqrt[3]{4}}{2})}^{4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{{\sqrt[3]{4}}^{4}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Passaggio 4.2.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{4}}^{4}$ come $\sqrt[3]{4^{4}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4^{4}}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Passaggio 4.2.1.2.2

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{256}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Passaggio 4.2.1.2.3

Riscrivi $256$ come $4^{3} \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.3.1

Scomponi $64$ da $256$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{64 (4)}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Passaggio 4.2.1.2.3.2

Riscrivi $64$ come $4^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4^{3} \cdot 4}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Passaggio 4.2.1.2.4

Estrai i termini dal radicale.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{2^{4}} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Passaggio 4.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{16} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Passaggio 4.2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.4.1

Scomponi $4$ da $4 \sqrt[3]{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 (\sqrt[3]{4})}{16} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Passaggio 4.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.4.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{4 \cdot 4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Passaggio 4.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{4 \sqrt[3]{4}}{4 \cdot 4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Passaggio 4.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - 2 \frac{\sqrt[3]{4}}{2} + 1$

Passaggio 4.2.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.5.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) + 1$

Passaggio 4.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt[3]{4}}{2}) + 1$

Passaggio 4.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - 1 \sqrt[3]{4} + 1$

Passaggio 4.2.1.6

Riscrivi $- 1 \sqrt[3]{4}$ come $- \sqrt[3]{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - \sqrt[3]{4} + 1$

Passaggio 4.2.2

Per scrivere $- \sqrt[3]{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} - \sqrt[3]{4} \cdot \frac{4}{4} + 1$

Passaggio 4.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

$- \sqrt[3]{4}$ e $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4}}{4} + \frac{- \sqrt[3]{4} \cdot 4}{4} + 1$

Passaggio 4.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{4} \cdot 4}{4} + 1$

Passaggio 4.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{4} - 4 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Passaggio 4.2.4.1.2

Sottrai $4 \sqrt[3]{4}$ da $\sqrt[3]{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Passaggio 4.2.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Passaggio 4.2.5

La risposta finale è $- \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$ .

$- \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Passaggio 5

La linea tangente orizzontale sulla funzione $f (x) = x^{4} - 2 x + 1$ è $y = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$ .

$y = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$y = - \frac{3 \sqrt[3]{4}}{4} + 1$

Forma decimale:

$y = - 0.19055078 \dots$

Passaggio 7