Calcolo Esempi

$y = 1 + 40 x^{3} - 3 x^{5}$

Passaggio 1

Semplifica $1 + 40 x^{3} - 3 x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sposta $1$ .

$y = 40 x^{3} - 3 x^{5} + 1$

Passaggio 1.2

Riordina $40 x^{3}$ e $- 3 x^{5}$ .

$y = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$

Passaggio 2

Imposta $y$ come una funzione di $x$ .

$f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$

Passaggio 3

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{5}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$- 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $5$ per $- 3$ .

$- 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [40 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $40$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $40 x^{3}$ rispetto a $x$ è $40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 15 x^{4} + 40 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 15 x^{4} + 40 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $3$ per $40$ .

$- 15 x^{4} + 120 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 15 x^{4} + 120 x^{2} + 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $- 15 x^{4} + 120 x^{2}$ e $0$ .

$- 15 x^{4} + 120 x^{2}$

Passaggio 4

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 15 x^{4} + 120 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 15 {(x^{2})}^{2} + 120 x^{2} = 0$

Passaggio 4.1.2

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$- 15 u^{2} + 120 u = 0$

Passaggio 4.1.3

Scomponi $15 u$ da $- 15 u^{2} + 120 u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Scomponi $15 u$ da $- 15 u^{2}$ .

$15 u (- u) + 120 u = 0$

Passaggio 4.1.3.2

Scomponi $15 u$ da $120 u$ .

$15 u (- u) + 15 u (8) = 0$

Passaggio 4.1.3.3

Scomponi $15 u$ da $15 u (- u) + 15 u (8)$ .

$15 u (- u + 8) = 0$

Passaggio 4.1.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$15 x^{2} (- x^{2} + 8) = 0$

Passaggio 4.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 8 = 0$

Passaggio 4.3

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 4.3.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 4.3.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 4.4

Imposta $- x^{2} + 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Imposta $- x^{2} + 8$ uguale a $0$ .

$- x^{2} + 8 = 0$

Passaggio 4.4.2

Risolvi $- x^{2} + 8 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = - 8$

Passaggio 4.4.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 8$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 4.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 4.4.2.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 4.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.2.3.1

Dividi $- 8$ per $- 1$ .

$x^{2} = 8$

Passaggio 4.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{8}$

Passaggio 4.4.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.4.1

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.4.1.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

Passaggio 4.4.2.4.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Passaggio 4.4.2.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4.4.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4.4.2.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4.4.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $15 x^{2} (- x^{2} + 8) = 0$ vera.

$x = 0, 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 5

Risolvi la funzione originale $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ con $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - 3 {(0)}^{5} + 40 {(0)}^{3} + 1$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = - 3 \cdot 0 + 40 {(0)}^{3} + 1$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 40 {(0)}^{3} + 1$

Passaggio 5.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 40 \cdot 0 + 1$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $40$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$f (0) = 1$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 6

Risolvi la funzione originale $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ con $x = 2 \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2 \sqrt{2}$ nell'espressione.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 {(2 \sqrt{2})}^{5} + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (2^{5} {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Passaggio 6.2.1.3

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{5}$ come $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{2^{5}}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Passaggio 6.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{32}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Passaggio 6.2.1.5

Riscrivi $32$ come $4^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.5.1

Scomponi $16$ da $32$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{16 (2)}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Passaggio 6.2.1.5.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{4^{2} \cdot 2}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Passaggio 6.2.1.6

Estrai i termini dal radicale.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 (4 \sqrt{2})) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Passaggio 6.2.1.7

Moltiplica $4$ per $32$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (128 \sqrt{2}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Passaggio 6.2.1.8

Moltiplica $128$ per $- 3$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Passaggio 6.2.1.9

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (2^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

Passaggio 6.2.1.10

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

Passaggio 6.2.1.11

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{2^{3}}) + 1$

Passaggio 6.2.1.12

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{8}) + 1$

Passaggio 6.2.1.13

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.13.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{4 (2)}) + 1$

Passaggio 6.2.1.13.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 1$

Passaggio 6.2.1.14

Estrai i termini dal radicale.

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 (2 \sqrt{2})) + 1$

Passaggio 6.2.1.15

Moltiplica $2$ per $8$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (16 \sqrt{2}) + 1$

Passaggio 6.2.1.16

Moltiplica $16$ per $40$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 640 \sqrt{2} + 1$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 384 \sqrt{2}$ e $640 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 256 \sqrt{2} + 1$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $256 \sqrt{2} + 1$ .

$256 \sqrt{2} + 1$

Passaggio 7

Risolvi la funzione originale $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ con $x = - 2 \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2 \sqrt{2}$ nell'espressione.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{5} + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 ({(- 2)}^{5} {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $5$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Passaggio 7.2.1.3

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{5}$ come $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{2^{5}}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Passaggio 7.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{32}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Passaggio 7.2.1.5

Riscrivi $32$ come $4^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.5.1

Scomponi $16$ da $32$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{16 (2)}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Passaggio 7.2.1.5.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{4^{2} \cdot 2}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Passaggio 7.2.1.6

Estrai i termini dal radicale.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 (4 \sqrt{2})) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Passaggio 7.2.1.7

Moltiplica $4$ per $- 32$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 128 \sqrt{2}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Passaggio 7.2.1.8

Moltiplica $- 128$ per $- 3$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Passaggio 7.2.1.9

Applica la regola del prodotto a $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 ({(- 2)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

Passaggio 7.2.1.10

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

Passaggio 7.2.1.11

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{2^{3}}) + 1$

Passaggio 7.2.1.12

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{8}) + 1$

Passaggio 7.2.1.13

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.13.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{4 (2)}) + 1$

Passaggio 7.2.1.13.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 1$

Passaggio 7.2.1.14

Estrai i termini dal radicale.

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 (2 \sqrt{2})) + 1$

Passaggio 7.2.1.15

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 16 \sqrt{2}) + 1$

Passaggio 7.2.1.16

Moltiplica $- 16$ per $40$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} - 640 \sqrt{2} + 1$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $640 \sqrt{2}$ da $384 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 256 \sqrt{2} + 1$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 256 \sqrt{2} + 1$ .

$- 256 \sqrt{2} + 1$

Passaggio 8

Le tangenti orizzontali sulla funzione $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ sono $y = 1, y = 256 \sqrt{2} + 1, y = - 256 \sqrt{2} + 1$ .

$y = 1, y = 256 \sqrt{2} + 1, y = - 256 \sqrt{2} + 1$

Passaggio 9