Calcolo Esempi

$y = 3 x^{2} - 5 x + 4$

Passaggio 1

Imposta $y$ come una funzione di $x$ .

$f (x) = 3 x^{2} - 5 x + 4$

Passaggio 2

Trova la derivata.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 5 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$6 x - 5 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.4.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 x - 5 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $6 x - 5$ e $0$ .

$6 x - 5$

Passaggio 3

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 x - 5 = 0$ .

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Passaggio 3.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$6 x = 5$

Passaggio 3.2

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = 5$ e semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = 5$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{5}{6}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x}{6} = \frac{5}{6}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{5}{6}$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = 3 x^{2} - 5 x + 4$ con $x = \frac{5}{6}$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5}{6}$ nell'espressione.

$f (\frac{5}{6}) = 3 {(\frac{5}{6})}^{2} - 5 (\frac{5}{6}) + 4$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{6}$ .

$f (\frac{5}{6}) = 3 (\frac{5^{2}}{6^{2}}) - 5 (\frac{5}{6}) + 4$

Passaggio 4.2.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{5}{6}) = 3 (\frac{25}{6^{2}}) - 5 (\frac{5}{6}) + 4$

Passaggio 4.2.1.3

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{5}{6}) = 3 (\frac{25}{36}) - 5 (\frac{5}{6}) + 4$

Passaggio 4.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 4.2.1.4.1

Scomponi $3$ da $36$ .

$f (\frac{5}{6}) = 3 (\frac{25}{3 (12)}) - 5 (\frac{5}{6}) + 4$

Passaggio 4.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5}{6}) = 3 (\frac{25}{3 \cdot 12}) - 5 (\frac{5}{6}) + 4$

Passaggio 4.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - 5 (\frac{5}{6}) + 4$

Passaggio 4.2.1.5

Moltiplica $- 5 (\frac{5}{6})$ .

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Passaggio 4.2.1.5.1

$- 5$ e $\frac{5}{6}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} + \frac{- 5 \cdot 5}{6} + 4$

Passaggio 4.2.1.5.2

Moltiplica $- 5$ per $5$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} + \frac{- 25}{6} + 4$

Passaggio 4.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25}{6} + 4$

Passaggio 4.2.2

Trova il comune denominatore.

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Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $\frac{25}{6}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - (\frac{25}{6} \cdot \frac{2}{2}) + 4$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $\frac{25}{6}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{6 \cdot 2} + 4$

Passaggio 4.2.2.3

Scrivi $4$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{4}{1}$

Passaggio 4.2.2.4

Moltiplica $\frac{4}{1}$ per $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{4}{1} \cdot \frac{12}{12}$

Passaggio 4.2.2.5

Moltiplica $\frac{4}{1}$ per $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{4 \cdot 12}{12}$

Passaggio 4.2.2.6

Riordina i fattori di $6 \cdot 2$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 6} + \frac{4 \cdot 12}{12}$

Passaggio 4.2.2.7

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{12} + \frac{4 \cdot 12}{12}$

Passaggio 4.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25 - 25 \cdot 2 + 4 \cdot 12}{12}$

Passaggio 4.2.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.4.1

Moltiplica $- 25$ per $2$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25 - 50 + 4 \cdot 12}{12}$

Passaggio 4.2.4.2

Moltiplica $4$ per $12$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25 - 50 + 48}{12}$

Passaggio 4.2.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.5.1

Sottrai $50$ da $25$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{- 25 + 48}{12}$

Passaggio 4.2.5.2

Somma $- 25$ e $48$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{23}{12}$

Passaggio 4.2.6

La risposta finale è $\frac{23}{12}$ .

$\frac{23}{12}$

Passaggio 5

La linea tangente orizzontale sulla funzione $f (x) = 3 x^{2} - 5 x + 4$ è $y = \frac{23}{12}$ .

$y = \frac{23}{12}$

Passaggio 6