Calcolo Esempi

$y = \sin (x)$

Passaggio 1

Imposta $y$ come una funzione di $x$ .

$f (x) = \sin (x)$

Passaggio 2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Passaggio 3

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\cos (x) = 0$ .

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Passaggio 3.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 3.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 3.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.4.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 3.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 3.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 3.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.7

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = \sin (x)$ con $x = \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Passaggio 4.2.2

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 5

Risolvi la funzione originale $f (x) = \sin (x)$ con $x = \frac{π}{2} + π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2} + π$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π}{2} + π)$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 5.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

Passaggio 5.2.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{2})$

Passaggio 5.2.3.2

Somma $π$ e $2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 5.2.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{π}{2} + π) = - \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 5.2.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.2.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1$

Passaggio 5.2.7

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 6

La tangente orizzontale sulla funzione $f (x) = \sin (x)$ è $y = 1, y = - 1$ .

$y = 1, y = - 1$

Passaggio 7