Calcolo Esempi

$y = 7 x^{2} + 5 x$

Passaggio 1

Imposta $y$ come una funzione di $x$ .

$f (x) = 7 x^{2} + 5 x$

Passaggio 2

Trova la derivata.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x^{2} + 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x^{2}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 x + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$14 x + 5 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$14 x + 5$

Passaggio 3

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $14 x + 5 = 0$ .

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Passaggio 3.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$14 x = - 5$

Passaggio 3.2

Dividi per $14$ ciascun termine in $14 x = - 5$ e semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Dividi per $14$ ciascun termine in $14 x = - 5$ .

$\frac{14 x}{14} = \frac{- 5}{14}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{14 x}{14} = \frac{- 5}{14}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 5}{14}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{5}{14}$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = 7 x^{2} + 5 x$ con $x = - \frac{5}{14}$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{5}{14}$ nell'espressione.

$f (- \frac{5}{14}) = 7 {(- \frac{5}{14})}^{2} + 5 (- \frac{5}{14})$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 4.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{5}{14}$ .

$f (- \frac{5}{14}) = 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{14})}^{2}) + 5 (- \frac{5}{14})$

Passaggio 4.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{14}$ .

$f (- \frac{5}{14}) = 7 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{14^{2}})) + 5 (- \frac{5}{14})$

Passaggio 4.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{5}{14}) = 7 (1 (\frac{5^{2}}{14^{2}})) + 5 (- \frac{5}{14})$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $\frac{5^{2}}{14^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{5}{14}) = 7 (\frac{5^{2}}{14^{2}}) + 5 (- \frac{5}{14})$

Passaggio 4.2.1.4

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{5}{14}) = 7 (\frac{25}{14^{2}}) + 5 (- \frac{5}{14})$

Passaggio 4.2.1.5

Eleva $14$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{5}{14}) = 7 (\frac{25}{196}) + 5 (- \frac{5}{14})$

Passaggio 4.2.1.6

Elimina il fattore comune di $7$ .

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Passaggio 4.2.1.6.1

Scomponi $7$ da $196$ .

$f (- \frac{5}{14}) = 7 (\frac{25}{7 (28)}) + 5 (- \frac{5}{14})$

Passaggio 4.2.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{5}{14}) = 7 (\frac{25}{7 \cdot 28}) + 5 (- \frac{5}{14})$

Passaggio 4.2.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25}{28} + 5 (- \frac{5}{14})$

Passaggio 4.2.1.7

Moltiplica $5 (- \frac{5}{14})$ .

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Passaggio 4.2.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25}{28} - 5 (\frac{5}{14})$

Passaggio 4.2.1.7.2

$- 5$ e $\frac{5}{14}$ .

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25}{28} + \frac{- 5 \cdot 5}{14}$

Passaggio 4.2.1.7.3

Moltiplica $- 5$ per $5$ .

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25}{28} + \frac{- 25}{14}$

Passaggio 4.2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25}{28} - \frac{25}{14}$

Passaggio 4.2.2

Per scrivere $- \frac{25}{14}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25}{28} - \frac{25}{14} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 4.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $28$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Moltiplica $\frac{25}{14}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25}{28} - \frac{25 \cdot 2}{14 \cdot 2}$

Passaggio 4.2.3.2

Moltiplica $14$ per $2$ .

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25}{28} - \frac{25 \cdot 2}{28}$

Passaggio 4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25 - 25 \cdot 2}{28}$

Passaggio 4.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.5.1

Moltiplica $- 25$ per $2$ .

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25 - 50}{28}$

Passaggio 4.2.5.2

Sottrai $50$ da $25$ .

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{- 25}{28}$

Passaggio 4.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{5}{14}) = - \frac{25}{28}$

Passaggio 4.2.7

La risposta finale è $- \frac{25}{28}$ .

$- \frac{25}{28}$

Passaggio 5

La tangente orizzontale sulla funzione $f (x) = 7 x^{2} + 5 x$ è $y = - \frac{25}{28}$ .

$y = - \frac{25}{28}$

Passaggio 6